# 代數導論二 Week 7 (Part 2) - Algebraic Extension

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## 定義：Algebraic

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *field extension*， $\alpha \in K$。則：

1. 若 $m_{\alpha, F}(x)$ 存在：則稱 $\alpha$ 在 $F$ 上是 *algebraic* 的。並且定義 $\alpha$ 的 *degree* 為 $m_{\alpha, F}(x)$ 的次數：

$$
\deg \alpha = \deg m_{\alpha, F}(x)
$$

2. 反之，若 $m_{\alpha, F}(x)$ 不存在：則稱 $\alpha$ 在 $\alpha$ 上為 *trenscendental*。

:::

### 觀察：只要存在以其為根的多項式就好

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *field extension*， $\alpha \in K$。若存在「非零」多項式 $f(x) \in F[x]$，使得：

$$
f(\alpha) = 0
$$

則 $\alpha$ 在 $F$ 上為 *algebraic*。

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因為前面的引理時講過：只要這樣的多項式存在，*minimal polynomial* 就存在。所以條件就可以放鬆到只要存在一個滿足這樣的多項式就好。
## 定義：Algebraic Extension

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *field extension*。若對於任意 $\alpha \in K$，$\alpha$ 在 $F$ 上都是 *algebraic* 的，則稱則稱 $K$ 這個 *extension* 是 *algebraic* 的。

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## 定理：代數數等價於 Degree of Extension 有限 (P10)

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假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *field extension*。則：

$$
\begin{align}
K &\ni \alpha \text{ ia algebraic}
\newline
&\iff F(\alpha)/F \text{ is finite}
\end{align}
$$

:::

$(\Rightarrow)$：假定 $\alpha$ 在 $F$ 上是 *algebraic*，這表示他的 *minimal polynomial* $m_{\alpha, F}(x)$ 存在。因為：

$$
F(\alpha) \simeq F[x]/(m_{\alpha, F}(x))
$$

而 $F[x]/(m_{\alpha, F}(x))$ 在 $F$ 上的 *degree of extension* 就是 $\deg m_{\alpha, F}$，所以是有限的。因此 $F(\alpha)/F$ 也是有限的。

($\Leftarrow$)：假定 $F(\alpha)/F$ 是 *finite*，令：

$$
n = [F(\alpha):F]
$$

則以下的集合在 $F$ 上是線性相依的：

$$
\{1, \alpha, \dots, \alpha^{n}\}
$$

所以存在一個不全為零的線性組合，使得：

$$
\sum_{i = 0}^{n}a_i \alpha^i = 0 \quad a_i \in F
$$

但這時，就找到一個多項式使 $\alpha$ 帶進去為 $0$ 了，就是把上面的 $\alpha$ 通通換成 $x$：

$$
f(x) = \sum_{i = 0}^{n}a_i x^i
$$

因此 $\alpha$ 在 $F$ 上是 *algebraic*。(找得到一個 $f$ 就找得到最小的)

## 推論：Finite Extension 都是 Algebraic Extension (C11)

:::danger

假定 $F$ 是一個 *field*，且 $K/F$ 是一個 $F$ 的 *extension*。若 $K/F$ 是 *finite extension*，則 $K/F$ 是一個 *algebraic extension*：

$$
K/F \text{ finite}\Rightarrow K/F \text{ algebraic}
$$

:::

> 反過來不一定對。看看 $\Bbb Q$

對於任意 $\alpha \in K$，若將 $F(\alpha)$ 視為 $F$ 上的向量空間，則 $F(\alpha)$ 是個 $K$ 的子空間。因此他的維度不大於母空間。也就是：

$$
[F(\alpha):F]\leq \underbrace{[K:F]}_{\text{finite}}
$$

但 $K/F$ 是 *fintie* 的，所以 $[K:F]$ 是 *finite* 的，因此所有的 $[F(\alpha):F]$ 都是有限的。套用上面的敘述，$F(\alpha)/F$ 是有限的等價於 $\alpha$ 在 $F$ 上 *algebraic*，所以就證明了所有的 $\alpha$ 在 $F$ 上都 *algebraic*。