# 代數導論 (2) : 體的簡介

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## 定義：體

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**Def (Field)**：假定 $F$ 是一個集合，$「+」$$「\cdot」$ 是兩個 $F$ 上的二元運算：

$$
\begin{align}
{+} : F \times F \to F
\newline
{\cdot} : F \times F \to F
\end{align}
$$

若 $(F, +, \cdot)$ 所形成的三元組滿足下列三個條件：

1. ++$(F, +)$ 是個可交換群++：
$$
\boxed{(F, +) \text{ is a commutative group}}
$$

2. ++$(F^\times, \cdot)$ 是一個可交換群++：
$$
\boxed{(F^{\times}, \cdot) \text{ is a commutative group}}
$$
其中，$F^\times$ 定義為：
$$
F^{\times} = F \setminus \{0\}
$$

3. ++加法對乘法有左分配律++：對於任意 $a, b, c \in F$，有：
$$
\boxed{(a + b)\cdot c = a\cdot b + a \cdot c}
$$
則稱 $(F, +, \cdot)$ 這樣的三元組稱為一個「體」(Field)

:::

直覺地說，體看起來像是個可以有加減乘除的代數結構。體在更後面會有詳細的介紹，這邊只是簡單給個定義。

比如說常見的 $(\mathbb Q, +. \cdot)$、$(\mathbb R, +. \cdot)$, $(\mathbb C, +. \cdot)$ 都是個 *Field*。

## 例子：質數的同餘類

:::danger
假定 $p$ 是一個質數。令：

$$
\mathbb F_p = \{\bar 0, \bar 1, \dots \overline{p - 1}\}
$$

定義加法為：

$$
\bar a + \bar b = \overline{a + b}
$$

以及乘法：

$$
\bar a \cdot \bar b = \overline{a \cdot b}
$$

則 $+$, ${\cdot}$ 兩個運算是 *well-defined* 的，並且 $\mathbb F_p$ 是一個群。

:::

加法的部分，因為 $\mathbb F_p$ 實際上就是 $\mathbb Z / p\mathbb Z$，而已經知道 $\mathbb Z / p\mathbb Z$ 是一個在整數加法之下是一個群了，所以加法的部分沒有問題。

乘法方面， *well-definess* 的證明仿照加法可證明等號左右兩個集合相等。而證明 $(F^{\times}, \cdot)$ 能夠形成一個群，則需證明結合律、單位元、反元素三件事。仿照證明 $\mathbb Z / p \mathbb Z$ 為群的證明，可以證明 $\cdot$ 有結合律，以及單位元為 $\bar 1$。但反元素就比較不直覺。以下證明：對於任意 $a \in \mathbb F_{p}$，都存在 $a' \in \mathbb F_p$，使得：

$$
\bar a \cdot \bar a' = \bar 1
$$

### 證法 1 : 使用輾轉相除法

++證明 1 : 使用輾轉相除法++：直接用上整數的輾轉相除法：假定 $a, b \in \mathbb Z$，且 $a, b$ 的最大公因數為 $d$。即：

$$
d = (a, b)
$$

那麼，存在 $m, n \in \mathbb Z$，使得：

$$
(m \cdot a) + (n \cdot b) = d
$$

輾轉相除法的證明因為很多門課都教過了，所以暫時省略。現在，把 $a$ 換成任意不在 $\bar 0$ 中的整數，$b$ 換成 $p$。因為 $p$ 為質數，所以任意這樣的 $a$ 必定與 $p$ 互質，即：

$$
(a, b) = (a, p) = 1
$$

套用上述的定理，可知存在 $m, n \in \mathbb Z$，使得：

$$
(m\cdot a) + (n \cdot p) = 1
$$

但這樣一來，就可以觀察到：

$$
(m \cdot a) = 1 + (-n\cdot p) \in \bar 1
$$

所以，這樣的整數 $m$ 就會是 $a$ 的反元素。而任意 $m' \in \overline m$ 中的元素，也都滿足 $(m' \cdot a) \in \bar 1$，因為：

$$
\begin{align}
m' \in \bar m &\Rightarrow \exists k \in \mathbb Z.m' = (k\cdot p) + m
\newline
&\Rightarrow (m' \cdot a) = 1 + (-n\cdot p) + (-k \cdot p) \in \bar 1
\end{align}
$$

而最後一個小問題是：$m$ 未必有 $0 \leq m < p$，但因為同餘類有：

$$
\overline{m + p} = \overline m
$$

因此，只要對 $m$ 做整數除法，就知道存在整數 $q$ 及整數 $r$，使得：

$$
m = (q \cdot p) + r \quad 0 \leq r < p
$$

就有：

$$
\bar m = \overline{m - (q \cdot p)} = \bar r
$$

這樣就找到了同餘類裡面的反元素。

### 證法 2 : 構造映成函數

++證明 2：製造映成函數++。這個證明比較巧妙。對於任意 $\bar a \in \mathbb F_{p}$ ，令函數：

$$
\phi : \mathbb F_p^{\times} \to \mathbb F_{p}^{\times}
$$

其中：

$$
\phi(x) = \bar a \cdot \bar x
$$

只要可以證明 $\phi$ *surjective*，那麼因為 $\bar 1 \in \mathbb F_p^{\times}$，所以在定義域中可以找到一個 $x$ 使得：

$$
\bar a \cdot \bar x = \bar 1
$$

這樣就證明完了。

而另外一個觀察是：因為定義域與值域兩個集合的元素數目相同，這時 *injective* 就自動保證 *surjective*。所以只要證明 $\phi$ 是 *injective* 就好。而證明如下：

對於任意 $\bar x, \bar y \in \mathbb F_p$。目標是對於任何這樣的 $\bar x, \bar y$，都有：

$$
\bar a \cdot \bar x = \bar a \cdot \bar y \Rightarrow \bar x = \bar y
$$

由 $\bar a \cdot \bar x = \bar a \cdot \bar y$ 可知：

$$
\begin{align}
\bar a \cdot \bar x = \bar a \cdot \bar y & \Rightarrow
\overline{ax} = \overline{ay}
\newline
&\Rightarrow \overline{ax - ay} = \bar 0
\newline
&\Rightarrow \overline{a(x - y)} = \bar 0
\end{align}
$$

由此可知：

$$
p | a(x - y)
$$

但因為 $p$ 是質數，所以跟 $1 \dots p-1$ 都互質。而 $\bar a \in \mathbb F_{p}^{\times}$，所以 $1 \leq a \leq p -1$，因此必定也跟 $p$ 互質。故：

$$
p | (x - y)
$$

換句話說：

$$
\bar x = \bar y
$$