# 代數導論 Week 3 (Part 5) - Irreduciblility and Primes

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> 可以做像質因式分解那樣的操作的東西 (就算沒有輾轉相除法)。這邊 *Unique* 的意思是兩個質因式分解最多差一個 *unit*

## 定義：Irreducible

:::warning

假定 $R$ 是一個 *integral domain*。若 $r \in R$ 滿足下面 3 點：

1. $r$ 非零
2. $r$ 不是 *unit*
3. 當 $r$ 可以表為兩個元素相乘時，其中一個會是 *unit*
$$
\begin{align}
r &= ab \Rightarrow
\newline
&(a \text{ is unit}) \text{ or } (b \text{ is unit})
\end{align}
$$

則稱 $r$ 是一個 $R$ 中的 *irreducible element*。

:::

「不可分解」意思是如果他可以寫成兩個相乘，這兩個東西裡面至少有一個是 *unit*。

## 定義：Prime

注意這時候質數跟不可分解是不同的兩回事了。

:::warning

假定 $R$ 是一個 *integral domain*，且 $p \in R$。若 $(p)$ 生成的 *ideal* 是一個 *prime ideal*：

$$
(p) \text{ is a prime ideal}
$$

或者等價地：
$$
ab\in (p)\Rightarrow a\in(p) \text{ or } b\in(p)
$$
也可以寫成
$$
p \mid ab \Rightarrow p \mid a \text{ or }p \mid b
$$

則稱 $p$ 是一個 $R$ 中的 *prime*。

:::

## 定義：Associated

:::warning

假定 $R$ 是一個交換環，$a, b \in R$。若 $a, b$ 之間只差一個 *unit*，即：

$$
\begin{align}
\exists u &\in R.
\newline
&u \text{ is a unit; and}
\newline
&a = bu
\end{align}
$$

則稱這兩個元素 *associated*。

:::

## 觀察：Integral Domain 中的 Prime 都 Irreducible

:::danger

假定 $R$ 是一個 *integral domain*，則所有的 *prime* 都是 *irreducible* 的。

:::

既然 $(p)$ 是一個 *prime ideal*，這就表示若：

$$
p = ab \in (p)
$$

那麼 $a \in (p)$ 或 $b \in (p)$。也就是：

$$
\exists u \in R.a = pu \quad (1)
$$

或：

$$
\exists v \in R.b = pv \quad (2)
$$

在 $(1)$ 的狀況，就會發現 $b$ 是一個 *unit*：

$$
p = pub \Rightarrow ub = 1 \Rightarrow b \text{ is a unit}
$$

第二個狀況，就會發現 $a$ 是一個 *unit*：

$$
p = a\cdot pv \Rightarrow av = 1 \Rightarrow a \text{ is a unit}
$$

### 觀察：Irreducible 但不是 Prime 的例子

:::danger

在 $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ 中，$3$ 是 *irreducible*，但不是 *prime*。

:::

*irreducible* 的部分就是由定義出發。假定：

$$
3 = ab
$$

那麼們的 *norm* 就會有以下的關係：

$$
N(3) = N(a)N(b)
$$

對 $3$ 套用 *norm* 的定義：

$$
9 = N(a)N(b)
$$

所以 $N(a)$ 要是 $9$ 的因數。又因為 *norm* 的定義，$N(a), N(b)$ 都是非負整數，

$$
N(a) \mid 9 \Rightarrow N(a) = 1, 3, 9
$$

分開討論這三種狀況，這三種狀況要嘛是不可能出現，要嘛就是會導致「$a, b$ 其中一個是 *unit*」。

1. 假定 $N(a) = 1$，由 *norm* 的性質知道：這時 $a$ 要是 $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ 中的 *unit*。

2. $N(a) = 3$，這時候會發現不可能，因為 $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ 中沒有人的 *norm* 會是 $3$。因為假定這個元素是：

$$
x + y\sqrt{-5} \quad x, y \in \Bbb Z
$$

那麼他的 *norm* 是 $3$ 的意思是 $x, y \in \Bbb Z$ 要滿足以下關係：

$$
x^2 + 5y^2 = 3
$$

但是由 $y$ 討論就可以發現這樣的正整數解不可能存在。

3. 最後，假定 $N(a) = 9$，那麼這個意思就是：

$$
9 = \underbrace{N(a)}_{9}N(b) \Rightarrow N(b) = 1
$$

由 $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ 中 *norm* 的性質知道：$b$ 要是個 *unit*。

因此無論如何，$a, b$ 都至少會有一個是 *unit*，得證 $3$ 在裡面是 *irreducible*。

但另外一方面，可以觀察 $(3)$ 不是一個 *prime ideal*。比如說找 $9$。顯然：

$$
9 = 3 \cdot 3 \in (3)
$$

但是另外一方面，$9$ 也可以也可以寫成下面兩個 $\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ 元素的相乘：

$$
(2 + \sqrt{-5})(2 - \sqrt{-5}) = 9 \in (3)
$$

但是可以發現：$(2 + \sqrt{-5})$ 跟 $(2 - \sqrt{-5})$ 都不是 $(3)$ 中的元素，所以 $3$ 不是一個 *prime*。