# 代數導論 (24) - Direct Product (Part 1)

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這個主題跟向量空間的直和根本就是一樣的事。

## 定義：Direct Product

:::warning
**Def (Direct Product)**

假定 $(G_1, \star_1) \dots (G_n, \star_n)$ 是 $n$ 個群。則：

$$
G = G_1 \times G_2 \dots G_n
$$

搭配二元運算 $\star$：

$$
\begin{align}
&(a_1, \dots, a_n) \star (b_1, \dots b_n)
\newline
&= ((a_1 \star_1 b_1), (a_2 \star_2 b_2) \dots (a_n \star b_n))
\end{align}
$$

形成一個群。這個群稱作 $G_1 \dots G_n$ 的 *direct product*。並且 $G$ 中的單位元素為「$G_i$ 中每個單位元」所形成的 $n$ 元組。即：

$$
1_G = (1_{G_1}, 1_{G_2} \dots ,1_{G_n})
$$

:::

$G$ 是個群照理說是要證明的，但不難發現：假定

$$
g = (g_1, g_2 \dots g_n) \in G
$$

那麼他的反元素是：

$$
g^{-1} = (g_1^{-1}, g_2^{-1} \dots g_n^{-1})
$$

並且因為每個分量都有結合律，所以合起來也跟著有結合律。

後面有很多證起來很顯然的結果，所以如果一眼就可以

### 觀察：元素數目

:::danger

假定 $G_1 \dots G_n$ 是群，則他們 *direct product* 起來所生成的群 $G$，元素數目就是每個成分的大小相乘：

$$
|G_1 \times G_2 \times \dots \times G_n| = \prod_{i = 1}^{n}|G_i|
$$

:::

這看起來滿合理的，每個分量有 $|G_i|$ 中可能，乘法原理算一下就得到了。

### 觀察：相異分量之間的運算可交換

:::danger

假定 $G_1 \dots G_n$ 是群，且 $G = G_1 \times \dots \times G_n$。若令 $X_i$ 為「$G$ 的第 $i$ 個分量」：

$$
X_i = \{(1, \dots , g_i, \dots 1)\mid g_i \in G_i\}
$$

則「任兩相異分量之間的運算可交換」。即：若 $x_i \in X_i$，$x_j = X_j$，且 $i \neq j$，則：

$$
x_ix_j = x_jx_i
$$

:::

這其實滿明顯的。$x_i$ 除了第 $i$ 個元素之外都是單位元; $x_j$ 除了第 $j$ 個元素之外也都是單位元。所以兩個作用起來，第 $i$ 跟 $j$ 分量都恰好跟單位元作用到，而跟單位元的運算由群的定義是可交換的，所以就可以交換。

### 觀察：分量跟原來的同構

既然是由每個群組合而成的，自然而然會覺得分量應該要跟原先的群同構，也就是：

:::danger

假定 $G_1 \dots G_n$ 是群，且 $G = G_1 \times \dots \times G_n$。若令 $X_i$ 為「$G$ 的第 $i$ 個分量」：

$$
X_i = \{(1, \dots , g_i, \dots 1)\mid g_i \in G_i\}
$$

則「分量跟分量來自的群同構」。也就是：

$$
\boxed{X_i \simeq G_i}
$$

:::

從 $X_i$ 的定義可以發現一件事情：==$X_i$ 只是筆畫比較多的 $G_i$==，旁邊多寫幾個 $1$ 而已。所以會同構還滿顯然的。而如果要證明的話，考慮「取第 $i$ 個分量」這個函數：

$$
(1, \dots, g_i, \dots 1 ) \mapsto g_i
$$

就會發現這個映射是 *surjective*，因為每一個 $g_i \in G$ ，都有：

$$
g_i \in G_i \iff (1, \dots g_i \dots 1) \in X_i
$$

而且也 *injective*，因為任何 $x_i \in G$ 如果從 $x_i = (1, \dots g_i \dots 1)$ 被送到 $1$，由這個映射的定義就知道 $g_i = 1$。所以 *kernel* 裡面也只有 $1$。 *Homomorphism* 的部分也根本就是直接由定義得到：

$$
\begin{align}
&{\phi(1 \dots g_1 \dots 1)\phi(1 \dots g_i' \dots 1)}
\newline
&= (g_i)(g_i') = (g_ig_i')
\newline
&= \phi(1 \dots g_ig_i' \dots 1)
\newline
\end{align}
$$

### 觀察：分量做出來的 Quotient

:::danger

除此之外，取出來的分量 $X_i$ 在 $G$ 中是個 *normal subgroup*。即：

$$
\boxed{X_i \lhd G}
$$

更進一步，分量的做出來的 Quotient Group 跟剩下的分量同構

$$
\boxed{G / X_i \simeq (G_1 \times \dots G_{i - 1}\times G_{i + 1}, \times \dots G_n)}
$$

:::

==normal==

假定 $x = (1, \dots x_i \dots 1) \in X_i$，那麼只有第 $i$ 個分量會是 $g_ix_ig_i^{-1}$，其他人都是 $g_jg_j^{-1}$ 自己消掉：

$$
\begin{align}
&gxg^{-1}
\newline
&= (g_1g_1^{-1}, g_2g_2^{-1} \dots g_ix_ig_i^{-1}\dots g_ng_n^{-1})
\newline
&= (1, \dots ,g_ig_ig_i^{-1},\dots 1) \in X_i
\end{align}
$$

所以得證 *normal*。

==Quotient==

考慮「拿掉第 $i$ 個分量」的的函數：

$$
\begin{align}
G &\to (G_1 \times G_2 \dots \times G_{i-1}\times G_{i+1}\dots \times G_n)
\newline
(g_1, g_2 \dots g_n) &\mapsto (g_1,g_2 \dots ,g_{i-1},g_{i+1}\dots g_n)
\end{align}
$$

可以觀察到：這個映射是個 *homomorphism*，而且 $X_i$ 就是這個映射的 *kernel*。所以用 *first isomorphism theorem* 就證完了。

### 觀察：投影函數

:::danger

若令「取出 $i$ 分量的函數」為 $\pi_i$：

$$
\begin{align}
\pi_i : (G_1 \times G_2 \dots \times G_n) &\to G_i
\newline
(g_1, g_2 \dots g_n) &\mapsto g_i
\end{align}
$$

則 $\pi_i$ 是個 *surjective homomorphism*：

$$
\boxed{\pi_i \text{ is a }\mathbf{\ surjective\ homomorphism}}
$$

並且：

$$
\boxed{\ker \pi_i = (g_1 \dots g_{i-1}, 1, g_{i + 1} \dots g_n)}
$$

:::

==homomorphism==

假定 $g,g' \in G$，則由 $\pi_i$ 的定義可知：

$$
\pi_i(gg') = g_ig_i' = \pi_i(g)\pi_i(g')
$$

因此是 *homomorphism*。

==surjection==

可以觀察：

$$
\pi_i(X_i) = G_i
$$

所以這個映射就 *surjective*。

==kernel==

$$
\pi_i(g_1 \dots g_i \dots g_n) = 1 \iff g_i = 1
$$

因此得證。