# 代數導論 (8) - Lagrange 定理

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接下來是一個雖然看起來很簡單，但實際上超級泛用的定理：

## 定理：Lagrange 定理

:::danger

假定 $G$ 是一個有限群，且 $H < G$。則：

$$
\boxed{|G| = |G / H| \cdot |H|}
$$

這也就是說：假定 $H$ 是有限群 $G$ 的子群，則：

$$
|H|\ \bigg{|}\ |G|
$$

:::

這其實就是要證明：對於任意 $g \in G$，有：

$$
|H| = |gH|
$$

而要證明這件事，就是要找一個 $H$ 跟 $gH$ 的 *bijection*。但這個 *bijection* 找：

$$
f : H \to gH
$$

其中：

$$
f(h) = g\cdot h
$$

就可以了。這個 $f$ 一定 *onto*，因為 $gH$ 的定義就是這樣定出來的; 也一定 *1-1*，因為有左消去律，所以：

$$
gh_1 = gh_2 \Rightarrow h_1 = h_2
$$

### 推論：個數為質數的有限群必為循環群

這件事的另外一個推論是：==個數為質數 $p$ 的有限群一定是循環群==。因為隨便挑一個 $x \neq 1$。這是因為：對於任意元素 $x \in G$，她所形成的循環群：

$$
H = \langle x \rangle
$$

是一個子群，因此：

$$
|H| \ \bigg{|} \ |G|
$$

但 $|G| = p$ 是個質數。所以 $|H| = 1$ 或 $|H| = p$。但若 $x \neq 1$，那麼顯然 $|H| \neq 1$。因此只剩 $|H| = |G|$。

### 定理：有限群的例子

:::danger

假定 $G$ 是一個有限群，則對於任意 $x \in G$，有：

$$
x^{|G|} = 1
$$

:::

這其實是上面立即的結論。因為令：

$$
H = \langle x \rangle
$$

這樣一來，$H$ 是一個 $G$ 的子群。所以：

$$
|H|\ \bigg{|}\ |G|
$$

但循環群有：

$$
o(x) = | \langle x \rangle |
$$

因此：

$$
o(x) \mid |G|
$$

### 推論：費馬小定理

:::danger

假定 $a \in \mathbb Z$，$p$ 是一個質數，且：

$$
(a, p) = 1
$$

則：

$$
a^{p - 1} \equiv 1 \mod p
$$

:::

考慮乘法群：

$$
G = (\mathbb Z / p \mathbb Z)^{\times}
$$

則 $G$ 是一個有限群，且：

$$
|G| = p - 1
$$

則對於任意 $\bar a \in G$，套用前面的定理，有

$$
\left(\bar a\right)^{|G|} = \left(\bar a\right)^{p - 1} = \bar 1
$$

由此得證。

### 推論：尤拉定理

:::danger

假定 $n \in \mathbb N$。若令：

$$
\phi(n) = |(\mathbb Z / n\mathbb Z)^{\times}|
$$

則對於任意 $a \in (\mathbb Z / n \mathbb Z)^{\times}$，有：

$$
a^{\phi(n)} = 1
$$

:::

這就是上上個定理的直接結果。

### 反例：逆敘述未必正確

*Lagrange* 定理說「子群的大小必定是母群大小的因數」; 那反過來問：是不是「任何母群大小的因數，都存在一個元素，使得這個元素的 *order* 跟這個數字一樣？」答案是未必。比如說考慮 $S_5$。這時：

$$
|S_5| = 5! = 120
$$

但這當中沒有一個元素的 *order* 是 $15$。因為 $S_5$ 中的元素都可以分解成循環，但每個循環的 *order* 就是自己的長度。所以這所有的元素中，最大的 *order* 是由一個 2-cycle 與一個 3-cycle 形成的 *permutation*，*order* 為 6。

不過，如果想要逆敘述的話，有另外一個比較弱的版本：

### 定理：Sylow 定理

:::danger

**Thm (Sylow)**

假定 $G$ 是一個有限群，且：

$$
|G| = p^{r} \cdot n
$$

其中 $p$ 為質數，$r > 0$，$n$ 為一與 $p$ 互質的整數。則：

$$
\exists x \in G.o(x) = p
$$
:::

這個定理後面會有比較輕鬆的證明方法。所以暫時省略證明。

## 與 Normal 的關係

前面在討論 *normal subgroup* 時有提到：假定 $G$ 是一個群，$H \leq G$，則下面三個敘述是等價的：

$$
\begin{align}
xHx^{-1} &\subseteq H \quad \forall x \in G
\newline
xHx^{-1} &= H \quad \forall x \in G
\newline
Hx &= xH \quad \forall x \in G
\end{align}
$$

而這也就是 *normal subgroup* 的定義。可以發現最後條有點 *coset* 的樣子。而確實，在引入 *coset* 的概念之後，就可以用這個工具討論 *normal subgroup* 有關的性質。以下列舉幾個：

### 性質：只造得出兩個 Coset 的子群一定 Normal

:::danger

**Thm**：假定 $G$ 是一個群，$H \leq G$。則：

$$
|G/H| = 2 \Rightarrow H \lhd G
$$

:::

因為只有兩個 *coset*，所以 $G$ 可以表為：

$$
G = H \sqcup gH
$$

其中，$g \not \in H$。既然 $g \not \in H$ 可知：

$$
Hg \neq H
$$

但別忘了：$H = H\cdot 1$，所以也是個 *right coset*。而既然 $H$ 這個 *right coset* 跟 $Hg$ 不相等，那麼依照 *coset* 的性質，就有：

$$
Hg \cap H = \phi
$$

而既然 $G = H \sqcup gH$，所以換句話說：$Hg$ 完全落在「$H$ 以外的地方」也就是 $gH$ 中：

$$
Hg \subseteq gH
$$

但這也就是在說：

$$
g^{-1}Hg \subseteq H
$$

因為前面 $Hg \subseteq gH$ 表示對於任意 $h \in H$，存在 $h' \in H$，使得：

$$
hg = gh'
$$

但這也就是在說：對於任意 $h \in H$，有：

$$
g^{-1}hg = h' \in H
$$

### 例子：D2n

比如說，對於 $G = D_{2n}$，考慮：

$$
H = \langle r \rangle
$$

由：

$$
|H| = n
$$

因為是有限群，所以由 *Lagrange* 定理可知：

$$
|G/H| = \frac {|G|}{|H|} = \frac {|D_{2n}|}{n} = 2
$$

由此得證 $\langle r \rangle$ 是個 *normal subgroup*。

### 性質：數目為 4 的有限群必定可交換

:::danger

假定 $G$ 是一個群，則：

$$
|G| = 4 \Rightarrow G \text{ is }\mathbf{Abelian}
$$

:::

任選一個 $a \in G$ 且 $a \neq 1$。由 *Lagrange* 定理，這樣的 $a$ *order* 只能是 2 或 4 (4 的因數)。為了方便，令：

$$
H = \langle a \rangle
$$

如果是 4，那麼就有：

$$
G = \langle a \rangle
$$

因此一定是 *abelian*。

另外一個狀況，假定 *order* 是 2，那就表示 $|\langle a \rangle| = 2$，再度由 *Lagrange* 定理得到：

$$
|G/H| = \frac {|G|}{|H|} = 2
$$

使用上面的定理，知道這樣的 $H$ 必定 *normal*。但這時：

$$
H = \langle a \rangle = \{1, a\}
$$

所以對於任意 $x \in G$，有：

$$
\begin{align}
xHx^{-1} &= \{x1x^{-1}, xax^{-1}\}
\newline
&= \{1, xax^{-1}\}
\newline
&= H
\newline
&= \{1, a\}
\end{align}
$$

因此，對於任意 $x \in G$，有：

$$
a = xax^{-1} \Rightarrow ax = xa
$$

但這邊 $a$ 也是任取的，所以得證可交換。