# Napier Math (*Outdated)

## 発行

現時点$t_0$で、ユーザーが入金するターゲットxの量で、$y = x \cdot s(t_0)$の同量のPTとYTを発行します。

$s(t_0) < S(t_0)$ の場合、ユーザーは発行されたばかりのYTから一定量のターゲットをすぐに収集できます。このターゲットの追加額は、元の入金額に追加されると考えるのが合理的です。正確な追加量は、次の式から求めることができます。

$$
\Delta x = (x + \Delta x) \cdot s(t_0) \cdot \left( \frac{1}{s(t_0)} - \frac{1}{S(t_0)} \right) = (x + \Delta x) \cdot \left( 1 - \frac{s(t_0)}{S(t_0)} \right) \\
\Delta x \left( 1 - \left( 1 - \frac{s(t_0)}{S(t_0)} \right) \right) = x \cdot \left( 1 - \frac{s(t_0)}{S(t_0)} \right) \\
\Delta x \cdot \frac{s(t_0)}{S(t_0)} = x \cdot \left( 1 - \frac{s(t_0)}{S(t_0)} \right) \\
\Delta x = \frac{x \cdot \left( 1 - \frac{s(t_0)}{S(t_0)} \right)}{\frac{s(t_0)}{S(t_0)}} = x \cdot \left( \frac{S(t_0)}{s(t_0)} - 1 \right)
$$

したがって、デポジットの全額は次のとおりです。

$$
X = x + \Delta x = x + x \cdot \left( \frac{S(t_0)}{s(t_0)} - 1 \right) = x \cdot \frac{S(t_0)}{s(t_0)}
$$

発行されたトークンの全額 (PTとYTも同じ) は次のとおりです。

$$
Y = X \cdot s(t_0) = x \cdot \frac{S(t_0)}{s(t_0)} \cdot s(t_0) = x \cdot S(t_0)
$$

ユーザーの結果は、現在のスケールが $s(t_0)$ ではなく$S(t_0)$。したがって、発行される PT と YT の数を計算する際に、現在のスケールの代わりに現在の最大スケールをプロトコルで使用することは合理的です。

追加のトークンを発行するときにユーザーがすでにある程度のYTを持っている場合、追加のYTを発行する前に、これらのYTの金額から収益を回収する必要があります。ユーザーがすでに$t_l$時点で$Y_l$のYTと最後に収集された収益を持っていると仮定しましょう。その後、ユーザーは保有するYTで、xlの金額のターゲットを徴収できます

$$
x_l = Y_l \cdot \left( \frac{1}{s(t_l)} - \frac{1}{S(t_0)} \right)
$$

したがって、保有するYTから集められた収益を考慮した発行済みトークンの全額は次のとおりです。

$$
Y = \left( x + Y_l \cdot \left( \frac{1}{s(t_l)} - \frac{1}{S(t_0)} \right) \right) \cdot S(t_0)
$$

## Add Liquidity

### Underlying $\leftrightarrow$ PT Pool(Aave Version)

ユーザーは、プリンシパルトークン（$PT_{napier}$）と underlyingを取引するプールに、$z$の量のunderlyingを流動性提供したいと考えています。

ユーザーは元のunderlyingを $z = z' + z''$の2つの部分に分割します。一つは$z'$はプールに直接行き、もう一つは$z''$は、プールに行くPTを発行するために使用されます。$PT_{aave}$の発行額は次のとおりです。

$$
y = z'' \cdot S(t)
$$

ここで一つ注意する必要があります。

$z''$のunderlyingから発行された$PT_{napier}$としてシステムによって計算処理される必要があります。

そのため、以下のように$S''(t)$を用いて定義されます。

$$
y'' = z'' \cdot S''(t)
$$

$Z$はunderlyingの準備金プールであり、$Y$は複数の異なる運用先のPTで構成されてる$PT_{Napier}$の準備金プールです。ユーザーは同じ割合でトークンを提供する必要があるため、次のようになります。

$$
\frac{z'}{y''} = \frac{Z}{Y} \\
\frac{z'}{z'' \cdot S''(t) } = \frac{Z}{Y} \\
\frac{z - z''}{z'' \cdot S''(t) } = \frac{Z}{Y} \\
(z - z'') \cdot Y = z'' \cdot S''(t) \cdot Z \\
z \cdot Y = z'' \cdot \left( S''(t) \cdot Z + Y \right) \\
z'' = z \cdot \frac{Y}{S''(t) \cdot Z + Y}
$$

$PT_{napier}$の$S''(t)$と$S(t)$の関係について

例えばこのとき、aave運用で発行した場合のPTの準備金を$Y_{aave}$,スケールを$S(t)$,Napierにリストされた複数の運用先で構成された$PT_{napier}$の準備金を$Y_{napier}$とすると、AAVEに対するNapierのスケール$S''(t)$は

~~{S''(t) = \frac{PricePT_{napier} \cdot Y_{napier}}{ PricePT_{aave} \cdot Y_{aave}}} \cdot {S(t)} \tag{A}~~

$$
PricePT_{napier} = \frac{Y_{aave} * PricePT_{aave} + Y_{comp} * PricePT_{comp}+…}{\Sigma{Y_i}} \tag{B}
$$

$$
PricePT_{aave} = (Y_{aave}/Z_{aave})^{t_m - t} \tag{C}
$$

ここで、$t_m$は$PT_{napier}$の満期の時刻である。

### メモ

$$
S''(t) = \frac{Y_{aave} * S_{aave}(t) + Y_{comp} * S_{comp}(t) +…}{\Sigma{Y_i}} \tag{D}
$$

## Notation

$t_0$：発行時期

$t_m$：満期

$t_{m}-t$：満期までの時間

$s(t)$：$t$ 時点でのスケール（$t$時点でのUnderlting建でのターゲットの価格）

$S(t)$：$t$ 時点での最大スケール (Interest-Bearing tokenの交換比率 [underlying建て]) 例: [cUSDCのScale](https://etherscan.io/token/0x39aa39c021dfbae8fac545936693ac917d5e7563#readContract#F4)

$x$：ユーザーが預け入れたターゲットトークンの金額

$x$：ユーザーが預け入れたターゲットトークンの金額

$y$：PTまたはYTの量

$\Delta x$：発行時や、ユーザーが預け入れた金額によるターゲットの増加額

---

---

### アーカイブ Target $\leftrightarrow$ PT Pool

ユーザーは、プリンシパルトークン（$PT_{napier}$）とターゲットを取引するバランサープールに、xの量のターゲットを流動性提供したいと考えています。

ユーザーは元のターゲットを $x = x' + x''$の2つの部分に分割します。一つは$x'$はプールに直接行き、もう一つは$x''$は、プールに行くPTを発行するために使用されます。$PT_{aave}$の発行額は次のとおりです。

$$
y = x'' \cdot S(t)
$$

ここで一つ注意する必要があります。

$x''$のターゲットから発行されたPT（例えば、$PT_{aave}$）を流動性提供すると、（$PT_{aave}$ではなく）$PT_{napier}$としてシステムによって計算処理される必要があります。

同様に$x'$のターゲットもまた、$Target_{napier}$としてシステムによって計算処理される必要があります。

そのため、以下のようにS''(t) を用いて定義されます。

$$
x' = Target_{napier}
$$

$$
y'' = PT_{napier} = x'' \cdot S''(t)
$$

Xは複数の異なる運用先のターゲットで構成された準備金プールであり、Yは複数の異なる運用先のPTで構成された準備金プールです。ユーザーは同じ割合でトークンを提供する必要があるため、次のようになります。

$$
\frac{x'}{y''} = \frac{X}{Y} \\
\frac{x'}{x'' \cdot S''(t) } = \frac{X}{Y} \\
\frac{x - x''}{x'' \cdot S''(t) } = \frac{X}{Y} \\
(x - x'') \cdot Y = x'' \cdot S''(t) \cdot X \\
x \cdot Y = x'' \cdot \left( S''(t) \cdot X + Y \right) \\
x'' = x \cdot \frac{Y}{S''(t) \cdot X + Y}
$$

$PT_{napier}$の$S''(t)$と$S(t)$の関係について

例えばこのとき、aave運用で発行した場合のPTの準備金を$Y_{aave}$,スケールを$S(t)$,Napierにリストされた複数の運用先で構成された$PT_{napier}$の準備金を$Y_{napier}$とすると、AAVEに対するNapierのスケール$S''(t)$は

$$
{S''(t) = \frac{PricePT_{napier} \cdot Y_{napier}}{ PricePT_{aave} \cdot Y_{aave}}} \cdot {S(t)}
$$