# NCTS 寒假短期課程 Curve Shortening Flow

* 地點：成功大學數學系 **3173** 教室
* 時間：2020 年 1 月 13 號至 1 月 17 號
* 主辦人：陳志偉 (中山大學)、賴青瑞 (成功大學)、李國瑋 (彰化師範大學)、王業凱 (成功大學)

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幾何流是幾何分析裡非常活躍的領域，在近期幾何、拓樸、數學物理的重大突破中扮演重要的角色：Perelman 2003 年用 Ricci flow 證明 Poincare 猜想(奠基於 Hamilton 1982-1997 的工作)；Huisken-Ilmanen 2001 年用 inverse mean curvature flow 證明廣義相對論的 Riemannian Penrose 猜想。幾何流也有廣泛的實際應用，應用數學家用 mean curvature flow 光滑化粗糙的圖片、資料以及研究流體與材料中的表面張力。

這個短期課程藉由 curve shortening flow 介紹幾何流的基本想法與技巧。課程教材參考 Haslhofer 教授的講義。我們會學到 Huisken 如何用極大值原理, Harnack 不等式以及 blowup analysis 證明 Gage-Hamilton 和 Grayson 的經典定理。

#### 錄取同學會依 NCTS 規定補助住宿與交通費
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## 背景知識：
歡迎對幾何學與偏微分方程有興趣的大學部 (大三以上)以及究所同學。本課程要求的背景知識包括
* 高等微積分、線性代數
* 幾何學：平面曲線，參考 do Carmo *[Differential Geometry of Curves and Surfaces](https://www.amazon.com/Differential-Geometry-Curves-Surfaces-Mathematics/dp/0486806995)* 1-2, 1-3, 1-4, 1-5
* 偏微分方程：熱方程，參考 Strauss *[Partial Differential Equations](https://www.amazon.com/Partial-Differential-Equations-Walter-Strauss/dp/0470054565)* 2-3, 2-4

對平面曲線或熱方程不熟悉的同學可參考李國瑋老師的講義：[平面曲線](http://myweb.ncku.edu.tw/~ykwang/2020CSF/GeometryCSFnote.pdf)、[熱方程](http://myweb.ncku.edu.tw/~ykwang/2020CSF/PDECSFnote.pdf)

### 教材：
[Lectures on Curve Shortening Flow](http://www.math.toronto.edu/roberth/pde2/curve_shortening_flow.pdf) by Robert Haslhofer

[Problem Set](http://myweb.ncku.edu.tw/~ykwang/2020CSF/ProblemSet.pdf)

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## 日程表

**1/13**
10:30 -11am Registration
11-12am Plane curves and heat equation(李國瑋)
12-1pm Lunch
1-3pm Curve shortening flow basics
4-5pm Free discussion

**1/14**
10-12am Huisken's monotoninicity formula
12-1pm Lunch
1-4pm Free discussion
4-5pm Problem session

**1/15**
10-12am Hamilton's Harnack inequality
12-1pm Lunch
1-4pm Free discussion
4-5pm Problem session

**1/16**
10-12am Huisken's distance comparison principle
12-1pm Lunch
1-4pm Free discussion
4-5pm Problem session
5-8pm Banquet

**1/17**
10-11am Grayson's convergence theorem
11-12pm Ricci flow and the proof of Poincare conjecture(陳志偉)
12-1pm Lunch
1-2pm Free discussion