# 幾何組修課建議
同學最早接觸到幾何組的課是**向量分析**，我們建議大二時選修。課程討論多變數函數的微積分，會介紹(或複習，視大一微積分進度而定) partial derivative, gradient vector, Inverse Function Theorem and Implicit Function Theorem、line integral, double integral, triple integral, Green's Theorem, Stokes Theorem and Divergence Theorem. 如有時間會談 differential forms 以及 Maxwell equations. 工學院對電磁學和流體力學裡的數學原理有興趣的同學也會來修。這門課偏重計算，不刻意強調嚴謹證明。

正式的幾何入門課是**拓樸學**和**幾何學**，分別排在上學期與下學期，我們建議大三時選修。它們是系上所有高階幾何課的先修課程，幾何學是系上六選三課程之一。

**拓樸學** 分為兩部分。第一部分是點集拓樸 (point set topology)，基本上是幾何中需要的集合論。因為幾何的想法、觀點已經滲透到數學中所有分枝，只要進入高階的數學課，無論是分析、微分方程、代數，都需要點集拓樸的知識。這部分其實同學在高等微積分課上已經接觸過： metric space, open ball, compact, connected。第二部分是代數拓樸 (algebraic topology)，討論空間的變形以及拓樸不變量如基本群 (fundamental group)、 同調群 (homology group) 等概念，介紹拓樸學的科普影片多半是關於這部分，譬如 [Introduction to Topology: Made Easy](https://www.youtube.com/watch?v=VOKgMJEc_ro)

**幾何學** 講的是微分幾何 (differential geometry)，主要工具是微積分、線性代數、微分方程 (微分方程解的存在唯一性)，研究對象是空間中的曲線和曲面(所以跟大家在國中學過的平面與空間幾何不同)。內容有 plane and space curves, regular surfaces, first and second fundamental forms, Gauss curvature, mean curvature, Gauss Theorema Egregium, covariant derivative, geodesics, Gauss-Bonnet Theorem. 參考 [History of Differential Geometry](https://www.youtube.com/watch?v=6xgtMQ7WSzQ)。因為沒用到高微，許多二年級同學也會選修。

修過拓樸學和幾何學後，我建議同學可以接著修微分幾何導論一、二。導論一主要是打基礎，目的是熟悉 differentiable manifold 的理論，包括 Definition of manifolds, differentiable maps, tangent spaces, regular level set theorem, vector fields, Lie groups, differential forms, generalized Stokes theorem, de Rham cohomology.

導論二視授課老師專長而定，可能的題材有 Riemannian geometry, theory of vector bundles (connection, curvature, gauge theory), symplectic geometry.

**複幾何** 講的是複流形(complex manifold)的幾何，預備知識除了上述幾何學相關課程，主要還要加上複分析，基本上就是建立在複數的微積分上再加上幾何概念。黎曼面是複數下是曲線，但是實際上實空間裡看到的是曲面，這是建立在單變數的複分析上的幾何。有修過複分析的同學可以嘗試修黎曼面導論，其中橢圓曲線的部分跟費馬最後定理還有當代的橢圓曲線加密法有密不可分的關連，很值得一窺究竟。

**代數幾何** 講的是多項式方程組零解集合的幾何，也就是所謂的代數簇(algebraic variety)。最簡單的例子是多元一次方程式的解，幾何上看到的也就是一個仿射空間(線性空間的平移)。當把多項式的degree提高後，就需要其他工具來理解代數簇的幾何性質。代數幾何的入門課是代數學I和II，還有交換代數，之後的代數曲線課程就是為了帶領大家在最低維度代數簇探討相關的幾何。例如Bezout定理：簡略來說，兩多項式degree為m和n，則其共同解必有mn個（這邊忽略了很多條件）。由於多項式是電腦計算最常用的工具，所以代數幾何也在許多的應用數學領域有所發展，至於細節就留待同學探索。

以下列出系上幾何選修課、先修課程 (系上必修、拓樸學、幾何學以外的)、建議修課學期 (假設三年級修了拓樸學和幾何學)

|課名|先修課程|建議修課學期|
|---|---|---|
|微分幾何導論一||四上|
|微分幾何導論二|微分幾何導論一|四下|
|代數拓樸|(不需要幾何學)|三下|
|黎曼面|複變函數論|四上|
|代數曲線|代數二|四下 or 三下|
|代數幾何|代數二|碩一|
|矩陣群|(不需要拓樸學、幾何學)|三上|
|李群與李代數|微分幾何導論|碩一|
|幾何與應用|視授課老師而定||

幾何組教師

| 姓名 | 研究領域 | 107 開課 |
| -------- | -------- | -------- |
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