# 微波工程實習報告 　　　　　　　　　　 組別:5
## 主題: T-junction and Wilkinson Power Divider
#### 組員: B10902110 陳宏豪

### 摘要和心得
本篇包含4/17與4/24上課內容整理

主要內容有:

1. S-Parameter and 3-port network
2. lossless T-junction
3. Resistive T-junction
4. Even/Odd Mode analysis
5. Wilkinson Power Divider

寫完這篇感覺變成小畫家達人了...圖超多
Hack MD 好讀版:https://hackmd.io/@MIN69/rkziz29Gh

然後威金森分析起來不難但很麻煩，然後設計出來不知道發生什麼事...
**學長到底怎Layout的，洗出來比模擬好= =??**

另外在上課用PPT中的第12張中的式子列錯了，但答案是對的(?)

SMD電阻有夠難焊，20歲就手超抖表示痛苦。
焊接時銅箔上的焊錫不要用太多，~~會變成高反射的形狀。~~
有幾組$S_{11}$直接飛上天了2ㄏ2ㄏ。
然後電木真的有夠臭，都過6小時了還是有味道...
記得Return Loss 或IL 不要加負號。

### S-parameter

三埠網路示意圖如下:


會使用**S**cattering **Matrix**來描述其行為。
S-Martix 主要描述的是每個port間的**入射與反射波**的關係，習慣上以功率(實際量的到)來定義:

$a_n=\frac{V^+_n}{\sqrt{Z_{0n}}}\ \ \ \ ,b_n=\frac{V^-_n}{\sqrt{Z_{0n}}}$
$Z_{0n}$為n-port上的阻抗，彼此可以不相等。

$\begin{bmatrix} b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}& S_{13}\\S_{21} & S_{22}& S_{23}\\
S_{31} & S_{32}& S_{33}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_{1}\\a_{2}\\a_3 \end{bmatrix}$

其中每個$S$參數都是**複數**，具有實部與虛部，或用極座標表示成相位及大小。
而且它們都是**頻率的函數**。
將矩陣展開能寫成:

$b_1=S_{11}a_1+S_{12}a_2+S_{13}a_3$
$b_2=S_{21}a_1+S_{22}a_2+S_{23}a_3$
$b_3=S_{31}a_1+S_{32}a_2+S_{33}a_3$
### matching(匹配)
如果每個port上都是**匹配**的，且將Port1作為輸入$a_1$，port2、port3作為輸出，
我們可以預期port1上的反射$b_1=0$，port2上反射回網路的$a_2=0$，port3反射回網路的$a_3=0$
帶回去上面的式子:
$0=S_{11}a_1+S_{12}*0+S_{13}*0$
$b_2=S_{21}a_1+S_{22}*0+S_{23}*0$
$b_3=S_{31}a_1+S_{32}*0+S_{33}*0$
透過第一條式子可以知道:$S_{11}=0$，(當所有port都匹配時)

第二條式子:$S_{21}=\frac{b_1}{a_1}$，(當所有port都匹配時)

第三條式子:$S_{31}=\frac{b_3}{a_1}$，(當所有port都匹配時)
記憶法:
可以觀察出來**只有所有port都Matching後S參數才有如此單純的關係**。
我們可以對每個port都做一樣的假設會得到:

$\begin{bmatrix} 0 & S_{12}& S_{13}\\S_{21} & 0& S_{23}\\
S_{31} & S_{32}& 0\end{bmatrix}$
**匹配網路的性質:對角線元素為0**
### reciprocal(互易)

對於一個n-port而言，S參數就會有$2n^2$個未知數(n by n的方陣，每個S元素又有相位及大小)。
通常**被動**網路都有這個性質，由port1往port2看與由port2往port1看是相同的具有對稱性，
這是個很棒的性質，代表它的S-matrix也會是對稱的矩陣(symmetric matrix):
$S^T=S$
這樣可以少掉$2n$個未知數。

$\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}& S_{13}\\S_{12} & S_{22}& S_{23}\\S_{13} & S_{23}& S_{33}\end{bmatrix}$
**互易網路的性質:對角線兩邊的元素對稱**

### lossless(無損)
假設網路為無損的，它的實功率$P=0$。
回顧下交流電功率實功$P$的算法:
$S=P+jQ=\frac{V}{\sqrt{2}}\frac{I^*}{\sqrt{2}}$，$P$就是把$S$(視在功率)取實部。

$P=\Re({\frac{V}{\sqrt{2}}\frac{I^*}{\sqrt{2}}})=\Re(\frac{V}{\sqrt{2}}\frac{V^*}{\sqrt{2}Z})$

其中$V=V^++V^-$，$I=\frac{V^+-V^-}{Z}$
$a_n=\frac{V^+_n}{\sqrt{Z}}\ \ \ \ ,b_n=\frac{V^-_n}{\sqrt{Z}}$
全都套進去:

$\Re(\frac{(a+b)(a-b)^*}{2})=
\frac{1}{2}\Re(aa^*+ba^*-ab^*-bb^*)$，
中間的$ba^*-ab^*$是純虛數取Re後沒有貢獻。
簡易說明如下，假設兩複數$a,b$
$a=\alpha+j\beta，b=\gamma+j\delta$
$ba^*-ab^*=(\gamma+j\delta)(\alpha+j\beta)-(\alpha+j\beta)(\gamma+j\delta)$
$=(\alpha \gamma+\beta \delta+j(\alpha\gamma-\beta\delta))-(\alpha\gamma+\beta\delta+j(\beta\gamma-\alpha\delta))=j(\alpha\gamma-\beta\delta-\beta\gamma+\alpha\delta)$
所以$ba^*-ab^*$為純虛數，Quod Erat Demonstrandum。

所以$P=\frac{1}{2}\Re(aa^*-bb^*)=0$
移項得到$aa^*=bb^*$，$b$可以由$S$矩陣與$a$相乘得到:
$aa^*=(aS)(Sa)^*$，中間兩矩陣相乘得到$I$。
代表$SS^*=I$(單位矩陣)，或$S^*S=I$
矩陣上的星號代表的是[共軛轉置](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%85%B1%E8%BD%AD%E8%BD%AC%E7%BD%AE)，先每個元素取共軛複數後再做轉置。
利用上面的結果，計算某S矩陣:

$\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}& S_{13}\\S_{21} & S_{22}& S_{23}\\
S_{31} & S_{32}& S_{33}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}& S_{13}\\S_{21} & S_{22}& S_{23}\\
S_{31} & S_{32}& S_{33}\end{bmatrix}^*
=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} S_{11} & S_{12}& S_{13}\\S_{21} & S_{22}& S_{23}\\
S_{31} & S_{32}& S_{33}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} S_{11}^* & S_{21}^*& S_{31}^*\\S_{12}^* & S_{22}^*& S_{32}^*\\S_{13}^* & S_{23}^*& S_{33}^*\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
觀察$I$矩陣的對角線元素由以下產生:(只寫一條)
$S_{11}S_{11}^*+S_{12}S_{12}^*+S_{13}S_{13}^*=1$
也就是:
$|S_{11}|^2+|S_{12}|^2+|S_{13}|^2=1$

**(等於第一個Row與自己的innner Product等於1)**
觀察$I$矩陣0的部分(只寫一條):

$S_{11}S_{21}^*+S_{12}S_{22}^*+S_{13}S_{23}^*=0$
**(等於第一個Row與第二個Row的innner Product為0)**

以此類推，得到結論:**若一個網路為無損的，那它的S-matrix的每個Row或Column彼此是線性獨立的**
也就是說它是一個**滿秩矩陣**:
$Dim(S)=Rank(S)=Dim(C(S))=Dim(C(S^T))$

### 三埠網路的不可能三角

**即三埠網路不可能同時滿足無損、互易、匹配。**
Port再多點就可以了。


考慮一個匹配且互易的網絡，它的$S-matrix$應該有以下這種形式:
$S=\begin{bmatrix} 0 & S_{12}& S_{13}\\S_{12} & 0& S_{23}\\S_{13} & S_{23}& 0\end{bmatrix}$
帶入無損條件$SS^*=I$，幫結果取個名字$MR$。
$MR=\begin{bmatrix} 0 & S_{12}& S_{13}\\S_{12} & 0& S_{23}\\S_{13} & S_{23}& 0\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & S_{12}^*& S_{13}^*\\S_{12}^* & 0& S_{23}^*\\S_{13}^* & S_{23}^*& 0\end{bmatrix}=$

$\begin{bmatrix}
S_{12}S_{12}^*+S_{13}S_{13}^* & S_{13}S_{23}^* &S_{12}S_{23}^*
\\S_{23}S_{13}^* &S_{12}S_{12}^*+S_{23}S_{23}^* &S_{12}S_{13}^*
\\S_{23}S_{12}^*&S_{13}S_{12}^*&S_{13}S_{13}^*+S_{23}S_{23}^*\end{bmatrix}=I$

$MR_{12}=S_{13}S_{23}^*$ 非對角線元素，應為0，且複數相等，$S_{13}、S_{23}$必須皆為0，或其一為0。
依照這個邏輯，對所有的非對角線元素列出方程式，可以得到:
$S_{12}S_{13}^*=0$，$S_{12}S_{23}^*=0$
$S_{13}S_{12}^*=0$，$S_{13}S_{23}^*=0$
$S_{23}S_{12}^*=0$，$S_{23}S_{13}^*=0$
共計六條，能夠求解六個未知數。
同時滿足的條件只能當$S_{12}=0、S_{13}=0、S_{23}=0$，同時也使得$MR$中的對角線元素也為0，並不會是單位矩陣。

得證，不存在滿足此情況的三埠網路。

### Lossless Tee-junction
一個T型的3埠網路是很常會看到的東西，不過它有很多種變形，而且鋩鋩角角很多。

而這是最單純的一種:

當這個網路由Port1作為輸入，Port2、3作為輸出，且三埠都被**terminated**時
(不知道怎翻譯，就是Port都妥善匹配，不會有反射回到網路中)

那麼為了讓能量能有效地傳遞進此網路，此網路由Port1看入的輸入阻抗必須匹配，即:$Z_1\parallel Z_2=Z_0$
且能透過$Z_1$與$Z_2$的值來調整Port2與Port3輸出的功率比例:
假設輸入功率$P_{in}$，$P_2$、$P_3$分別port2和port3輸出的功率
欲使$P_2:P_3=n:1$
輸入功率與阻抗關係是:
$P_{in}=\frac{V^2}{2Z_0}$
同理:
所以在$Port2$上的阻抗$Z_1$與$Port$上的阻抗$Z_2$有 :
$Z_1:Z_2=1:n$的關係，但同時需要阻抗匹配，及$Z_1$與$Z_2$並聯需要等於$Z_0$。
設$Z_1=t$則$Z_2=nt$，兩者並聯$\frac{nt}{n+1}=Z_0$，解出$t=\frac{n+1}{n}Z_0$。
故$Z_1=\frac{n+1}{n}Z_0$，$Z_2=(n+1)Z_0$即可使功率不相等分配。

以本次範例為例子

$Z_0=50,Z_1=100,Z_2=100$
功率分配為$P_2:P_3=1:1$，$|S_{31}|^2=|S_{21}|^2=0.5，S_{21}= \frac{\pm1}{\sqrt2}$

Port 1匹配:$S_{11}=0$，$S_{22}=S_{33}=\frac{(100\parallel50)-100 }{(100\parallel50)+100}=\frac{33.33-100 }{(33.33+100)}=-0.5$
且此網路為被動元件組成，為**互易網路**，S參數有以下形式:
$S=\begin{bmatrix} 0 & \frac{\pm1}{\sqrt2}& \frac{\pm1}{\sqrt2}\\\frac{\pm1}{\sqrt2} & -0.5 & S_{23}\\\frac{\pm1}{\sqrt2} & S_{23}& -0.5 \end{bmatrix}$

且**無損**，第二直排與第三直排線性獨立，可得到:
$\frac{1}{2}-0.5S_{23}^*-0.5S_{23}=0$
$S_{23}+S_{23}^*=1$，代表$S_{23}=\frac{1}{2}$
最終的會有這種形式的$S-martix=\begin{bmatrix} 0 & \frac{\pm1}{\sqrt2}& \frac{\pm1}{\sqrt2}\\\frac{\pm1}{\sqrt2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\\frac{\pm1}{\sqrt2} & \frac{1}{2}& -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

所以我們可以預期，在工作頻率上時:
$|S_{22}|=|S_{33}|=20log(0.5)\approx-6dB$
$|S_{21}|=|S_{31}|=|S_{12}|=|S_{12}|=20log(\frac{1}{\sqrt2})\approx-3dB$

實際量測時又是另外一回事了。
理論上實際與理論相符，實際上並不是如此。微波，妙不可言...

### Resistive T-junction

因為被動元件組成的網路都是互易的，又不可能同時互易無損又匹配，選擇其實只有兩種
1. 互易無損，就是上面的那種
2. 互異匹配，即加上損耗性元件來使三埠網路匹配


要讓參考平面(Reference plane)往內看得到反射為0:
$((Z_0+R)\parallel(Z_0+R))+R=Z_0$
$\frac{(Z_0+R)^2}{2(Z_0+R)}+R=Z_0$
$0.5Z_0+1.5R=Z_0$
$R=\frac{Z_0}{3}$
需取$R$為$\frac{Z_0}{3}$即可，範例是$Z_0=50，R=16.66$

把傳輸線當集總元件比較好理解:

現在我們知道功率$P_{in}$能被**完美**的送進去V點的參考平面了，因為它匹配。
我們可以更進一步的把a點以後的電阻捏成一顆$Z_0-R$
而$P_{in}=\frac{1}{2}\frac{V^2}{Z_0}$
簡單的分壓一下，算出$V_a$:
$V_a$=$V\frac{Z_0-R}{Z_0-R+R}$，把$R=\frac{Z_0}{3}$帶入
$V_a=V\frac{3Z_0-Z_0}{3Z_0}=\frac{2}{3}V$
再度分壓求出$V_b$
$V_b=\frac{2}{3}V\times \frac{Z_0}{R+Z_0}=V\frac{2Z_0}{3Z_0+Z_0}=\frac{V}{2}$
且三埠對稱互易，有這種形式的$S-martix=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}$
而$V_b$是離開此網路的傳輸線所收到的電壓波，其功率大小為
$P_{o2}=\frac{1}{2}\frac{V_b^2}{Z_0}=\frac{1}{4}P_{in}$，作為輸出的總共有2個port，總輸出功率$P_{ot}=2P_{o2}=\frac{1}{2}P_{in}$，整整少掉一半。

### Even/Odd Mode analysis(奇偶模分析)

奇偶模分析講大白話就是高職基本電學教的中垂線法、水平線法的延伸，一樣是**拿來處理對稱網路。**

拿個電路當例子:
假設$V1=V2$，那麼整個電路在對稱軸的左右兩邊**完全對稱**，可以把電路重畫成:

因為兩端是完全對稱的，我們可以預期對稱各點電壓與電流相等:
$V_a=V_b$、$i1=i2$、$i3=i4$

對$x$點做$KCL$，有$i3+i4=0$，又$i3=i4$，只能$i3、i4$都為0才能滿足條件。
**即沒有電流流過對稱軸。**
此情形稱為**偶模(EVEN MODE)** 可以在近一步的直接把整個電路看成**以對稱軸開路**:
這樣就能很簡單的解出各點電壓跟電流了。

反知若$V2=-V1$那麼電路變成:
可以知道右半部分的電壓與電流關係為**負的左半電壓電流**:
$V_a=-V_b$、$i1=-i2$、$i3=-i4$
對$c$點做$KCL$會得到$i1+i2+兩顆2R_3的電流=0$把$i2=-i1$帶入會得到
兩顆$2R_3$電阻上的電流是0。亦即沒有壓降，代表$c$點對地短路。

對x點做$KVL$，由左$(V1)$往x點看$V_x=V1-(i1+i3)R_1-i3\frac{R}{2}$
由右$(-V1)$往左看$V_x=-V1-(i2+i4)R_1-i4\frac{R}{2}$，把$i1=-i2$、$i3=-i4$帶入，且兩式相等:
$V1-(i1+i3)R_1-i3\frac{R}{2}=-V1+(i1+i3)R_1+i3\frac{R}{2}$
$2V1-2(i1+i3)R_1-i3R=0$，同除2移向
$V1=(i1+i3)R_1+i3\frac{R}{2}$帶回去由左往右看的式子:
$V_x=(i1+i3)R_1+i3\frac{R}{2}-(i1+i3)R_1-i3\frac{R}{2}=0$
$V_x$也對地短路。
等效電路如下:

此情況為**奇模(ODD MODE)**，對稱軸整條短路。

### Wilkinson Power Divider

示意圖:

這東西的設計要求是要求3個Port都匹配$(S_{11}=S_{22}=S＿{33}=0)$
且Port2跟Port3要完全隔離$(S_{23}=S_{32}=0)$。

它是個上下**對稱**的網路，所以我們能用奇偶分析來驗證這設計是否有以上性質。

在確定網路行為(量$S$參數)時需要把待測的$Port$接一個測試源$V$，其他$Port$要**terminated**
如下:
然後我們可以把$V$拆開成$\frac{V}{2}+\frac{V}{2}$，把短路到地的線拆開成$\frac{V}{2}-\frac{V}{2}$，如下圖:
然後用重疊定理把奇偶分析中的兩個同正(Even mode)，跟一正一負(odd mode)分開算，
就能大幅簡化流程。

理論存在，實踐開始:

第一步，確認Port1上的情形:
把**Port1接一個$V1$，Port2跟Port3 terminated**，因上下對稱，故$2Z_0$上跨壓為0，相當於沒接
等效成:
所以$Port1$看入的阻抗，就是兩個$Z_0$過$\frac{1}{4}$傳輸線的並聯
(可以回顧上次教的$\frac{1}{4}$阻抗轉換器)。
利用它的公式$Z_i=\frac{特徵阻抗^2}{ZL}=\frac{(\sqrt{2}Z_0)^2}{Z_0}=2Z_0$
兩個$2Z_0$並聯得到$Z_0$。

確定$Port1$是匹配的，$S_{11}=0$

接著把**PORT2和PORT3接一個同相的$V1$，使它形成偶模的情形**，可使對稱軸上開路:

$Port2$的輸入阻抗$Z_{i2}$是$Port1$的$2Z_0$過四分之一波長轉換器$=\frac{2Z_0^2}{2Z_0}=Z0$
在偶模上，$Port2$跟$Port3$都是匹配的。
但在要從$Port1$出去的介面是失配$(Z_0\sqrt2\rightarrow 2Z_0)$的，會有反射產生:
$\Gamma=\frac{2Z_0-Z_0\sqrt2}{2Z_0+Z_0\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{V^-}{V^+}$

然後我們想算出從$Port2$出發跑到$Port1$上的電壓有多少，才能確定$S_{12}$。
~~稍微有點複雜，當你碰到傳輸線的那時就沒救了~~

根據傳輸線理論，傳輸線上傳播模態可寫成正向傳播與逆向傳播之和:

$V(z)=V^+e^{-j\beta z}+V^-e^{j\beta z}$，把$V^+$提出
$V(z)=V^+(e^{-j\beta z}+\Gamma e^{j\beta z})$
$V^+跟V^-$是未定係數，分別代表順相傳播跟逆向傳播波的峰值。

我們把$Port2$的位置設成$\frac{-\lambda}{4}$，$Port1$的位置設成0，因為此式子是把負載當參考點(z=0)往回推的。
$Port2$上電壓是$V1$，就有$V(\frac{-\lambda}{4})=V^+(e^{j0.5\pi}+\Gamma e^{-j0.5\pi})$(用歐拉公式展開)$=jV^+(1-\Gamma)=V1$
所以$V^+=-j\frac{V1}{1-\Gamma}$，套回去再把$z=0$帶入求出$Port1$上的電壓:
$V(0)=-j\frac{V1}{1-\Gamma}(e^{0}+\Gamma e^{0})=-jV1\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$，把$\Gamma=\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}$帶入

得到$Port1$在**偶模**時的電壓=$-jV1\frac{2}{\sqrt{2}}=-j\sqrt2 V1$

當**PORT2接V1，PORT3接$-V1$，使它形成奇模的情形**，對稱軸短路接地。
此時從$Port2$看進去會看到$Z_0$(電阻)並聯一條輸入阻抗為無限大的傳輸線(開路)，
所以不會有能量能透過那條傳輸線跑到$Port1$上，意味著全部的能量都被電阻吃了。
($\frac{1}{4}$波長的短路殘段輸入阻抗是無限大的)

$Port2$看進去只會看到$Z_0$電阻到地，所以$Port2$跟在奇模時是匹配的，同理，$Port3$也是。

所以$Port1$在**奇模**時的電壓為0。$Port2$是$V1$

將奇偶模結果疊加即可求出真正的$S_{12}=\frac{Port1的奇+偶}{Port2的奇+偶}=\frac{-j\sqrt2 V1}{2V1}=-j\frac{1}{\sqrt2}$

至此，在上面的奇偶模分析中，$Port3$都是消失(被短路到地或開路掉)的狀態，$Port2$根本沒機會把能量傳到$Port3$上，意味著$S_{23}=S_{32}=0$
且不論even 或odd 三埠都匹配，$S_{11}=S_{22}=S_{33}=0$
$Port2$和$Port3$彼此對稱，又互易:$S_{12}=S_{13}=S_{21}=S_{31}=-j\frac{1}{\sqrt2}$

所以Wilkinson Power divider會有這種形式的$S-martix=\frac{-j}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 0 & 1& 1\\1 & 0 & 0\\1 & 0& 0 \end{bmatrix}$

### 實際量測與模擬結果

**這次終洗板出來量到了~**
#### Resistive T-junction

$S-martix=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}$

理論上預期 $|S_{12}|=|S_{13}|=|S_{23}|=|S_{32}|=-6.01dB$
但連ADS模擬RL也跑不到6dB呢(；一_一)。


#### 模擬:

#### 量測:
提取量測數據:
SNP符號下的"Port1and2"代表是實際網路的port1、2與VNA的port1、port2相連。
port3被terminated。

為什麼不用3port下去量 ಠ_ಠ?　 　 　　　

#### 出圖:
每個port自己的反射都落在$-10dB$左右。

這張是由1向2或3穿透過去的(即模擬的$|S_{21}|、|S_{31}|、|S_{12}|、|S_{13}|$)，
量測值落在$-7.1dB$跟$-7.4dB$，比理論值少$1dB$，比模擬值少$0.4dB$，
估計是FR4跟焊接技術在搞鬼。

port 2 、3的隔離度(模擬的$|S_{23}|、|S_{32}|$)，跟模擬的數值差不多。

#### Wilkinson Power divider
$S-martix=\frac{-j}{\sqrt2}\begin{bmatrix} 0 & 1& 1\\1 & 0 & 0\\1 & 0& 0 \end{bmatrix}$

理論上$|S_{12}|=|S_{21}|=|S_{31}|=|S_{13}|=-3.01dB$

設計:

外圈長需要$70.71\Omega，\frac{\lambda}{4}$，用Linecalc按出來是
$W=1.596080mm$
$L=14.095$給他多個$20$%$=16.914mm$，(通靈)
讓port2與70.71相接面的寬度與50歐姆相同，port1接面為整面切齊。

求解$R(\pi-arcsin(\frac{1.53}{R})-arcsin(\frac{3.85}{R}))=16.914$
(用二分逼近法去求，程式碼在最下面)
得到外徑$R=7.1681mm$，內徑$r=R-1.5961=5.572mm$
以圓心座標當$(0,0)$，
$port1$的$x=-\sqrt{R^2-1.53^2}=-7$
$port2$的$x=\sqrt{R^2-3.85^2}=6.046$
示意圖，(上下對稱，下半圓就不畫了 ٩(ˊᗜˋ*)و ):

#### ADS模擬結果:


#### 實際量測

提數據:


出圖:

我原本看到模擬結果很滿意了，直到看到量測數據...

**嗚嗚嗚...到底為什麼實際量測出來會比模擬好啦...**


### 附錄 Python 解方程根程式碼

import math

def func(x):
    if x <= 0 or x <= (ohm50_W+SMD_L*0.5):
        return float("inf")
    else:
        return x * (math.pi-math.asin(ohm50_W/(2*x))-math.asin((ohm50_W+SMD_L*0.5)/x))-sqrt2_L
    
def bisection(a, b, tol):
    if func(a) * func(b) >= 0:
        print("Error: func(a) and func(b) have same signs!")
        print("NO ROOT INSIDE RANGE (a,b)")
        return None
    else:
        while (b - a) / 2 > tol:
            c = (a + b) / 2
            if func(c) == 0:
                return c
            elif func(c) * func(a) < 0:
                b = c
            else:
                a = c
        return (a + b) / 2

def get_range(space):
    ## get bisection range 
    ## return two point
    for i in range(5000):
        if func(i) * func(i+space) < 0:
            return i,i+space
    return None

sqrt2_W=1.59608    ##70.7omh Width
sqrt2_L=14.095*1.2 ##70.7omh Length
ohm50_W=3.058520   ##50 omh Width
ohm50_L=10.0       ##50omh Length
SMD_L  =1.6        ##SMD element gap Length


Pa,Pb= get_range(30)
err = 1e-10 ## accuracy

root = bisection(Pa, Pb, err)

print(root)

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