# 工程光學筆記
### 日誌

#### 2023/03/28 更新
[何為場](###何為場(field))
[一維行進簡協波模型](###一維行進簡協波模型)
[高斯光束](###高斯光束(Gaussian_beam))
#### 2023/03/29 更新完成
[波包與群速度](###波包與群速度)
#### 04/10 更新
重新編排
[更新當日上課內容](###傳輸矩陣(Ray_Matrices))

最後更新日期:0411

## CH1-導論

### 何為場(field)
當我們打算探討一個物理現象時，幾乎不可避免地需要先理解什麼是場。無論是重力、電磁、光學等等都是以場的模型來建構的。

這裡引用大一在林保宏普物課聽到的解釋:
> 場，Field，這個字在國外是草原或農田的意思，你可以想像一片麥田。
> 

>嗯，對，他就這樣說而已。非常淺顯易懂，對吧?

當風吹過來時，麥會隨著風而搖擺，此時的麥田就是**場(Field)的表現** 。
你可以想像每根麥子上都有個向量(Vector)，這些向量指向現在的風向(力線)
好，現在風繼續在空間中流動，把麥子移走。只剩下那些力線(向量)在原地，那個就是所謂的**場**。

仔細思考，**場**是需要由麥子地擺動才能確立的，所以那些麥子就是測量物，場的本身是測量不到的，需要有參照物在場內受力才能知道這裡有場，就跟風一樣，需要有東西被吹動，你才會知道起風了。

所以教授才一直說:我們量不到場，只能量到強度(Intensity)，或受力。

### 一維行進簡協波模型
當我們描述一個波動現象時，習慣使用下面這個數學式來表示，**其實是有很多好處的**，之後會再提。

$y(x,t)=Acos(kx-\omega t)$
拆解一下這條式子中各部分的意義：
1. $A$是振幅
2. $cos()$是**波動方程式**的**其中一組**解
3. $kx$代表沿著x軸移動$2\pi$公尺的距離中,會有k個波。
4. $\omega t$ 代表每過一個週期(T)同一點(固定x)上會經過一個完整的波


由上圖看見當t增加時這個cos波朝著正x方向移動

想自己玩玩看可以[點這裡](https://www.geogebra.org/calculator/yngxr9bd)
### 波前

整個cos()括號裡面的東西稱為波的**相位**(phase)
> 謹記 : cos函數只能吃角度或徑度，所以整個相位$(kx-\omega t)$必須是一個角度的東西

仔細觀察上圖中的P點，它坐落在cos函數的峰值上，且隨著時間t增加而向正x移動，代表它的**相位都是相同的**，及$(kx-\omega t)=\phi=constant$
這個現象我們稱為波前(wave front)，就是指**相位一樣的點**，如果是平面波，那它的波前會是一個面，那波前就會變成**等相位的平面**，示意圖
所以波前可以代表行徑波在行徑時的狀態。

### 相速度
那麼如果想知道這點沿著x前進的**速度(V)** 只需要把在x上的位移對除以時間差
即:
$V=\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{-\partial \phi}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial \phi}$ (連鎖率)$=\omega *\frac{1}{k}$
又$\omega=2\pi f$，$k=\frac{2\pi}{\lambda}$
所以$V=f\lambda$
這個就是我們常說的**波速**，或**相速度**。

### 波包與群速度
如果我們今天是一坨波一起跑呢?
舉個例子:
$f(x,t)=cos(-2 x-1.2 t)+cos(-2.1 x-0.8 t)$這是兩個波的情況 ~~(數字隨便打的，會動就好)~~
當它在時域移跑起來時像這樣:

想自己操作看看可以[點這裡](https://www.geogebra.org/calculator/yzyywmdk)
它已經不是單純的一束行進波了，它是一整片在往前移動。
仔細觀察可以發現它有兩個東西在跑，一個是裡面的小的波，另一個是外面整個股起來的部分，我們稱為**波包**。
緊接著:我們會想知道，這波包到底移動多快啊?
根據上面的觀察，可以知道這整包由兩個部分構成，裡面的小波、外面的大包。
>想知道波包移動多快只需要把外面的大包函數求出來再用項速度的結論就行了。


具體操作如下:
對$f(x,t)$使用和差化積吧!
公式如下:
$cos(A)+cos(B)=2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$
$f(x,t)=cos(-2 x-1.2 t)+cos(-2.1 x-0.8 t)$
$A=-2 x-1.2 t,B=-2.1 x-0.8 t$，帶入公式:
$=2cos(\frac{-4.1x-2t}{2})cos(\frac{0.1x-0.4t}{2})$
顯然，後面那個$cos$的移動速度比較慢，就是它了。
後面那個$cos$的$\omega=0.2,k=0.05$，又相速度$V=f*\lambda，而k=\frac{2\pi}{\lambda},\omega=2\pi f$所以$V=\frac{\omega}{k}=\frac{0.2}{0.05}=4m/s$
至此我們已經導出課本上給的公式
這就是我們說的**群速度**。

### 色散
建議先看過上面的波包，會比較好懂這個東西。
一樣的函數$f(x,t)=cos(-2 x-1.2 t)+cos(-2.1 x-0.8 t)$
思考一下:「如果在$\omega$不變的情況下，讓其中一個$cos$的波數$(k)$增加或減少會怎樣呢」

它會壞掉!
這還只是其中一個cos的k值被增加而已，$k$值的變動意味著波長$\lambda$的變動。

當你一束光(波包)射進介質中，它的每個正弦成分的波數將被不同程度地改變，**且波數被改變的程度與該正弦波的頻率有關。**意味著光會變形，這就是色散的原理。

舉個生活中的例子:
~~有夠老的，估計教授都聽過這解釋~~

有看過踢正步嗎?
每一個人當成波，整組人視為一個**波包**，這波包要繼續保持的關鍵就是大家踢正步往前的速度都要相同。如果有人比較快或比較慢，隊伍就會散掉，就是色散。

### 折射率
讓我們把介質的影響考慮進來，一束電磁波打進介質中，會讓介質中的電子產生擾動，形成電偶極(dipole)。
而這偶極會在釋放同頻率電磁波，但這過程不是瞬間完成的，會有時間差，巨觀來看就是光在介質中傳波速度變慢了。

由公式$V=f\lambda$，速度下降=波長變短

具體變短多少可以用一個式子算出來:$\lambda_g=\frac{\lambda_0}{\sqrt{\epsilon_r}}$
**介質中的導波波長等於真空波長除上介電系數開根號**。在光學中會將$\sqrt{\epsilon_r}$變成$n$，就是折射率的意思。

當然波包也可以有**群折射率**，以群速度跟真空中的群速度之比值就是了。

## CH2-雷射

### 傳輸矩陣(Ray_Matrices)

如下圖，對於一個薄透鏡，我們將光與透鏡及介質間的互動寫成矩陣的方式。
這矩陣即是$ABCD$矩陣，或稱$Ray\ Matrices$，用矩陣表示最大的好處就是可以
**把作用在同一束光上的效果，表示成矩陣的相乘。**
拿上面那圖當例子。
我們要表示一束光相對於鏡子或介質的位置只需要與主軸(穿過鏡心的水平線)的夾角$\phi$，跟與主軸的高度$r$即可。那個$\phi$課本上是用$r'$表示，以下我們也用$r'$來寫。
**矩陣的目的是要利用射入找出射出位置的關係。**
**即輸出=矩陣乘輸入:**
$\begin{bmatrix}
r_{out}\\r_{out}'\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} r_{in}\\r_{in}'
\end{bmatrix}$

展開:
$r_{out}=Ar_{in}+Br_{in}'$
$r_{out}'=Cr_{in}+Dr_{in}'$

根據凸透鏡性質:
1. **平行主軸的光會偏折向第一焦點**
2. **過第一焦點入射的光會平行主軸**

可以知道:
$r_{in}=r_{our}$，入射光鏡子的高度與離開鏡子的高度相同。意味著$B=0$
考慮$\alpha$光:
$r_{in}=r$
$r_{in}'=0$
$r_{out}=r$
$r_{out}'=arctan({\frac{-r}{f}})\approx \frac{-r}{f}$，鏡子很小時可以做這種近似
帶入
$r_{out}=Ar_{in}+Br_{in}'$
$r_{out}'=Cr_{in}+Dr_{in}'$
得到:
$r=Ar$，$A=1$
$\frac{-r}{f}=Cr$，可解出$C=\frac{-1}{f}$
考慮$\beta$光:
$r_{in}=r$
$r_{in}'\approx\frac{r}{f}$
$r_{out}=r$
$r_{out}'=0$
把上面得到的$ABC$帶進去得到:
$r=1r$
$0=\frac{-1}{f}r+D\frac{r}{f}\ ,D=1$
這樣就求出$ABCD$值了，重寫成矩陣:
$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1&0\\\frac{-1}{f}&1\end{bmatrix}$

其他的行為如下表:

#### 實際上使用情形
假設有一堆透鏡與介質連續的透射，我想算出一束光入射**Plane s**到**Plane s+1**出來的位置狀態。
可以直接拿$ABCD$矩陣來用:
光束從**Plane s**開始先穿透厚度為d的空氣:
$\begin{bmatrix}
r_{s+1}\\r_{s+1}'\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} r_{s}\\r_{s}'
\end{bmatrix}$
又穿透一個透鏡其焦距為$f_2$，**前乘**透鏡的矩陣
$\begin{bmatrix}
r_{s+1}\\r_{s+1}'\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1&0\\\frac{-1}{f_2}&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} r_{s}\\r_{s}'
\end{bmatrix}$
再度穿透$d$跟$f_1$的透鏡:
$\begin{bmatrix}r_{s+1}\\r_{s+1}'\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1&0\\\frac{-1}{f_1}&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&0\\\frac{-1}{f_2}&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} r_{s}\\r_{s}'\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} r_{s}\\r_{s}'\end{bmatrix}$
把中間那些連乘的捏成一坨:
$\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1&0\\\frac{-1}{f_1}&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&0\\\frac{-1}{f_2}&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}1-\frac{d}{f_2}&d(2-\frac{d}{f_2})\\-(\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}(1-\frac{d}{f_1}))&-(\frac{d}{f_1}-(1-\frac{d}{f_1})(1-\frac{d}{f_2}))\end{bmatrix}$


**莫恐懼。** 現在只要知道輸入就能知道輸出的狀態了，但這矩陣中的元素機巴醜。
聰明的人們有想到一個很棒的方法來**簡化**這些計算，燈燈燈燈燈 [**對角化**](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8F%AF%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9F%A9%E9%98%B5#%E7%9F%A9%E9%98%B5%E5%AF%B9%E8%A7%92%E5%8C%96%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95****)。

有需要的話請回顧一下線性代數，我們先求出$ABCD$矩陣的[特徵值](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%92%8C%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F):
特徵值$\lambda$定義為:

$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\lambda
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
展開並移向:
$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=0$
$\begin{bmatrix}A-\lambda&B\\C&D-\lambda\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=0$

這是個二元一次齊性方程組，**要讓上面這方程組有非零解$(x,y)\neq(0,0)$的其行列式值為0。**

簡易說明:
使用克拉瑪公式:$x=\frac{\left | \begin{matrix}0&B\\0&D\end{matrix}\right |}{\left | \begin{matrix}A-\lambda&B\\C&D-\lambda\end{matrix}\right |}$，分子已經是0了，
如果分母是非0的值，x必為0，要讓它不為0就是讓這分數爆掉(除以0)。

所以:$\left | \begin{matrix}A-\lambda&B\\C&D-\lambda\end{matrix}\right |=0$
那麼就有:
$(A-\lambda)(D-\lambda)-BC=0$，(乘開)
$\lambda^2-(A+D)\lambda+AD-BC=0$
帶公式解:
$\lambda=\frac{(A+D)\pm\sqrt{(A+D)^2-4(AD-BC)}}{2}$，這裡偷用個ray matrix的性值$AD-BC=1$
$\lambda=\frac{(A+D)\pm\sqrt{(A+D)^2-4}}{2}$，*忍法!通靈之術!* 讓$cos(\theta)=\frac{A+D}{2}$

$\lambda=cos(\theta)\pm\frac{\sqrt{4(cos(\theta)^2-1)}}{2}$

$\lambda=cos(\theta)\pm\sqrt{-sin(\theta)^2}$

$\lambda=cos(\theta)\pm i sin(\theta)=e^{\pm i\theta}$，它有兩個特徵值。

我們利用這個來找出特徵向量:

$\begin{bmatrix}A-e^{i\theta}&B\\C&D-e^{i\theta}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=0$
我們拿上面那條等式來做文章:
$(A-e^{i \theta})x_1+B(y_1)=0$
讓 $x_1=B,y_1=e^{i\theta}-A$，剛剛好能夠滿足上面那條式子。
故:
$\begin{bmatrix}B\\e^{i\theta}-A\end{bmatrix}$是一個特徵向量。
另一個同理:
$\begin{bmatrix}B\\e^{-i\theta}-A\end{bmatrix}$
把這兩個特徵向量合起來成為一個矩陣為$M$
$M=\begin{bmatrix}B&B\\e^{i\theta}-A&e^{-i\theta}-A\end{bmatrix}$
求出它的反矩陣:

$M^{-1}=\frac{adj(M)}{det(M)}=
\frac{
\begin{bmatrix}
e^{-i\theta}-A&-B\\-e^{i\theta}+A&B\end{bmatrix}
}{-2iBsin(\theta)}$

拿$M$來對角化$ABCD$:
$D=M^{-1}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}M=
\frac{1}{-2iBsin(\theta)}
\begin{bmatrix}e^{-i\theta}-A&-B\\-e^{i\theta}+A&B\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}B&B\\e^{i\theta}-A&e^{-i\theta}-A\end{bmatrix}$

$D=\frac{1}{-2iBsin(\theta)}
\begin{bmatrix}e^{-i\theta}-A&-B\\-e^{i\theta}+A&B\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}Be^{i\theta}&Be^{-i\theta}\\BC+De^{i\theta}-AD&BC+De^{-i\theta}-AD\end{bmatrix}$

$D=\frac{1}{-2iBsin(\theta)}
\begin{bmatrix}e^{-i\theta}-A&-B\\-e^{i\theta}+A&B\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}Be^{i\theta}&Be^{-i\theta}\\De^{i\theta}-1&De^{-i\theta}-1\end{bmatrix}$

$D=\frac{1}{-2iBsin(\theta)}
\begin{bmatrix}B(1-e^{i2\theta})&0\\0&B(e^{-2i\theta}-1)\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{bmatrix}$

這樣做有些好處:
假設需要$ABCD$矩陣的3次方，拿D來算會很簡單
$D^3=M^{-1}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}MM^{-1}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}MM^{-1}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}M$

$=\begin{bmatrix}e^{i3\theta}&0\\0&e^{-i3\theta}\end{bmatrix}=M^{-1}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^3M$
還原回去只需要在$D^3$的前乘一個$M$，後乘一個$M^{-1}$:
$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^3=MD^3M^{-1}$

### 高斯光束(Gaussian_beam)

這圖看起來挺可怕的，但別太擔心，不難。

高斯光束是雷射光的一種**數學模型**，就是指發射出去的光(電磁波)被束縛在一定的範圍內，隨著光射出去的能量在空間中符合高斯分布。

我們從純量波動方程式下手:

$\nabla^2U(x,y,z)+k^2U(x,y,z)=0$
其中k是波數$\frac{2\pi}{\lambda}$
$\nabla^2$為拉普拉斯算子

已知微分方程一特解為$A*exp(-jkz)$，A是常數。可利用此結果假設另一解為$\Phi=M(x,y,z)exp(-jkz)$

帶回去微分方程內得到
$\frac{\partial \Phi }{\partial x^2}+\frac{\partial \Phi }{\partial y^2}+\frac{\partial \Phi }{\partial z^2}+k^2\Phi=0$
展開:
$\frac{\partial M}{\partial x^2}exp(-jkz)+\frac{\partial M}{\partial y^2}exp(-jkz)+\frac{\partial M}{\partial z^2}exp(-jkz)-2jk\frac{\partial M}{\partial z}exp(-jkz)-k^2Mexp(-jkz)+k^2Mexp(-jkz)=0$

整理下，並同除$exp(-jkz)$:

$\frac{\partial M}{\partial x^2}+\frac{\partial M}{\partial y^2}+\frac{\partial M}{\partial z^2}-2jk\frac{\partial M}{\partial z}=0$

再來我們做些假設:
1. 假設光沿著z軸行徑且都被侷限在z軸附近
2. 光的頻率很高(波長很短)，那麼k值就會很大

當k值很大時方程式中的$|-2jk\frac{\partial M}{\partial z}|將遠大於|\frac{\partial M}{\partial z^2}|$，可將二次偏微分項捨去，則方程式變為:
$\frac{\partial M}{\partial x^2}+\frac{\partial M}{\partial y^2}-2jk\frac{\partial M}{\partial z}=0$
這個叫做近軸方程式(paraxial equation)或拋物線方程式(paraaolic wave equation)。

我們來找它的解，需要用到一點"通靈":

用上面的波動方程式$\nabla^2U(x,y,z)+k^2U(x,y,z)=0$解為$Aexp(-jk|m|)$的結論
我們令
$A=\frac{1}{4\pi|m|}$
$|m|=\sqrt{x^2+y^2+(z+ja)^2}=(z+ja)\sqrt{\frac{(x^2+y^2)}{(z+ja)^2}+1} \ \ \approx (z+ja)+\frac{(x^2+y^2)}{2(z+ja)}$且$|(z+ja)|\rightarrow \infty$
$a$是任意常數。

上面近似的推倒如下:
假設$f(x)=\sqrt{1+x}$ 以x=0為原點泰勒展$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)}{1!}+\frac{f''(0)(x-0)}{2!}...$
帶入得到$f(x)=\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{1}{8}(1+x)^{-\frac{3}{2}}...\frac{1}{8}$那項太小會捨去，當x越趨近於0會越準。

將|m|與A帶回去解中約等於:$\frac{1}{4\pi((z+ja)}*exp(-jk((z+ja)+\frac{(x^2+y^2)}{2(z+ja)}))$
整理下指數部分:
$\frac{1}{4\pi(z+ja)}*exp(ka-jk\frac{(x^2+y^2)}{2(z+ja)})exp(-jkz)$
跟$\Phi=M(x,y,z)exp(-jkz)$比較一下可以發現，
$M(x,y,z)=M_0\frac{ja}{(z+ja)}*exp(ka-jk\frac{(x^2+y^2)}{2(z+ja)})$
$M_0$是任意常數。
有理化一下$M$把實部跟虛部全分開:
$M_0\frac{a(a+jz)}{z^2+a^2}*exp(-jk(x^2+y^2)\frac{z-ja}{2(z^2+a^2)})$
把非指數的部分寫成指數:
$M_0\frac{a\sqrt{a^2+z^2}}{z^2+a^2}exp(jtan^{-1}(\frac{z}{a}))*exp(-jk\frac{(x^2+y^2)}{2(z^2+a^2)}z-ka\frac{(x^2+y^2)}{2(z^2+a^2)})$

$M_0\frac{1}{\sqrt{1+\frac{z^2}{a^2}}}exp(jtan^{-1}(\frac{z}{a}))*exp(-jk\frac{r^2}{2R}-\frac{r^2}{W^2})$

一些參數:
$R=\frac{z^2+a^2}{z}，W^2=\frac{2a}{k}(1+\frac{z^2}{a^2})，r^2=x^2+y^2$

腰寬$W(z)=W_0\sqrt{(1+\frac{z^2}{a^2})}$，其中$W_0=\sqrt{\frac{2a}{k}}$

當腰寬$W(z)=\sqrt{2}W(0)$時的z值為a，該z值即為雷利距離。

代表電磁波衰減至最大值的$\frac{1}{\sqrt {2}}$倍。
也可從$W(0)^2=\frac{2a}{k}移項得到a=\frac{\pi W(0)^2}{\lambda}$
當光行徑過雷利距離後，其發散程度近似為直線，所以角度$\Theta = 2tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}W(0)}{a})\approx \frac{2\lambda}{\pi W_0}$

把前面的根號用上面的推倒換掉。電場表達式變成:
$\Phi=M_0\frac{W_0}{W}exp(jtan^{-1}(\frac{z}{a}))*exp(-jk\frac{r^2}{2R}-\frac{r^2}{W^2}-jkz)$

有興趣可以去[wiki](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E9%AB%98%E6%96%AF%E5%85%89%E6%9D%9F)上看看答案，不能說很像，簡直是一模一樣。

再來我們算算它的時域平均強度(Intensity):
$I(r,z)=0.5*|E|*|H|=\frac{|\Phi|^2}{240\pi}=\frac{1}{240\pi}(\frac{W_0}{W})^2exp(\frac{-2r^2}{W^2})$

這就是高斯光束，淺顯易懂 對吧?
那來解個題目吧:

Q:假設一個符合高斯光束的氦-氖雷射的波長為633nm光束其中心寬度是1mm，請問它的發散角度為多少?雷利距離?還有它在25公尺處的光束寬度?
題目提供了$W_0=1/2mm,\lambda=633nm$
A:帶公式
雷利距離$a=\frac{\pi W(0)^2}{\lambda}=\frac{3.14159*(1*0.5mm)^2}{633nm}=1.24(m)$
$\Theta\approx \frac{2\lambda}{\pi W_0}=\frac{2*633*10^{-9}}{3.14159*0.5*10^{-3}}=8.0596*10^{-4}$(弧度)
腰寬$W(25m)=1*10^{-3}\sqrt{(1+\frac{25^2}{1.24^2})}=20.1612(mm)$

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