# 電力電子筆記
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## 更新日誌

#### 2023/03/30
打完考古期末考題目

#### 03/31
完成期中考古題，已知此7題**重複率特高**。
#### 04/01
完成功率開關(CH1-CH2)

#### 04/06
按章分節
並完成第三章、第四章

隱藏期末考古題的部分，方便列印
開始編輯第五、第六章。
#### 04/08
**完成第五六章**
#### 04/09

感謝Danny發現[此處](###功率因數_Power_Factor)符號錯誤及其他錯字，已修正。
修改第五章不清楚點

#### 05/15
~~教授因為他要出國把考週提早兩週，真是隨心所欲、超級踰矩~~
計畫異動，下週期末考7、8章。
先行把第二章至第六章隱藏
並開始編輯第七章內容
#### 05/16
完成第七章內容，開始編輯第八章
完成第八章內容，預計週5下午進行內容細化

#### 05/19
修正橋式雙極性切換邏輯描述錯誤，並重新開啟一至六章內容

## 第二章 功率開關
### Diodes (二極體)
它是一個不可控，或者說由外部控制的開關。
其V-I特性如下圖:
當它被截止後會有一個逆向電流產生，其原因可想像PN結中有個電容，導致置入逆向電壓後會放電。
這個逆向回復時間會很大程度的影響到電路的性能，如頻率，是否會誤動作等。
如果要快的可以使用快速恢復二極體，小功率的場合能用蕭特基二極體等，能消除逆向恢復時間。

### Thyristor(閘流體)

它是一個半可控的開關，先讓$V_{AK}$為正後，由Gate(G極)輸入一個脈衝或直流電流$i_g$，使得它像二極體般導通，順向導通，逆向電流不可過。
一旦閘流體被導通之後，**就算$i_g$拔掉它依舊會保持導通**

截止方式:
理想分析上，只要讓流過閘流體的電流$i_A$小於保持電流，閘流體就會自動截止，稱為**0電流截止**。

但在完全截止前會有段時間需要排出卡在閘流體內部的電荷，所以需要讓$V_{AK}$維持一段時間($t_q$)以上的負值才可確定完全截止，若沒多hold一段時間，當$V_{AK}$再度上升時會自動導通，~~還容易燒掉~~。

另外一種方式是讓電流小於保持電流後會自動截止，

### **G**ate **T**urn **O**ff thyristor-**GTO**(閘極截止閘流體)
前面那個Thyristor是不能主動截止的，必須透過外部電路控制才能關機，現在這個GTO能由外部訊號控制來關閉，雖然犧牲了點承受功率，但換來更高的控制性。
在控制GTO時，導通與閘流體的控制相同，只須給個**正脈衝$(V_{GK})$** 就會導通。
但關閉時需要注意，當你打負脈衝$(V_{GK})$進去時，$V_{AK}$的變化值會很大。斷路，電壓自然會衝上去囉。
如果衝太快會導致GTO又自動導通了**或燒掉**。
這可不好，所以需要並一個RC電路給它穩壓，讓電壓變化不要太快。
如下圖電路:
**看圖會發現$i_A$在截止中形成一個緩慢下降的階梯形，在這段期間內$V_{AK}$可以是正值的，
但如果是Thyristor的話在電流下降時$V_{AK}$必須小於或等於0。**

### **M**OS **C**ontrolled **T**hyristor-**MCT**(MOS控制閘流體)
更快，更好控制的Thyristor 特性基本一樣。
媽的，符號好怪。
這東西更省電，切換更快，上面那些thyristor要關機都要灌負的$V_{AK}$給它，代表會有電流進去，這個不用那麼多電流，就能實現關機。

### **B**ipolar **J**unction **T**ransistor-**BJT**(電晶體)
舊物，現在功率BJT只用在少數的功率放大器中(如達靈頓電路)，因為MOS沒辦法做電流放大。
真要用在超大功率則使用IGBT。
### **I**nsulated **G**ate **B**ipolar **T**ransistor-**IGBT**(絕緣柵雙極電晶體)
這東西就是把BJT的機體加上MOS的閘極，讓控制電流變超小，但本質上還是BJT。

### **MOSFET**(場效電晶體)
提供低壓、小電流、高頻切換使用，需要注意的是$R_{ds(on)}$，及導通時的內阻，會引響損耗。

### 統整圖
### 通用控制開關模型分析
一個理想的開關有以下特性:
1. 短路無壓降
2. 開路無電流
3. 觸發時切換速度無限大
4. 控制所需的功率很低

這是理想上的，實際情況以下面這例子來說明:

波形圖:
當開關是on或off時都會有一個**導通時間**跟**截止時間**，當過了這段時間之後基本上開關就回復到上面的理想特性，導通無壓降，開路無電流，則自然沒有功率消耗(P=IV)。
但當切換過程中，電壓跟電流是同時出現在開關上的，就會有功耗:

$W_{on}=\frac{1}{2}V_dI_dt_{con}$，**嗯?看著上圖用三角形面積公式，底乘高除2而已。**
$W_{off}=\frac{1}{2}V_dI_dt_{coff}$
兩個合起來是一次開、關的功耗，再乘個頻率:
$P=\frac{1}{2}V_dI_df(t_{con}+t_{coff})$
就能知道功耗跟頻率成正比囉。

## 第三章 基本電路
### 功率因數_Power_Factor
$PF=\frac{P}{S}=cos(\phi)$
若有線電流失真，如下圖:
其中$i_s$為真實流過的的電流。

$i_{s1}$為基本諧波的電流頻率與$vs$相同，兩者相角差為$\phi$。

而$i_{dis}$為造成流過電流失真的部分，可以從真實電流扣掉基頻取得
$i_{dis}=i_s-i_{s1}=\sum_{h\neq1}{i_{sh}}$
總諧波失真(**T**otal **H**armonic **D**istortion)定義為失真電流$i_{dis}$與基頻電流$i_{s1}$之比:
$THD =\frac{i_{dis}}{i_{s1}}$
失真後的功因估算:
$PF_{dis}=\frac{1}{\sqrt{1+THD^2}}\ cos(\phi)$
### 伏特與安培秒平衡
耳熟能詳兩個儲能原件的電壓電流關係如下:
$i_C=C\frac{dV_c}{dt}$
$V_L=L\frac{di_L}{dt}$
考慮電感上的電流如下:
$t1-t0=T$
將上式移項兩邊積分:
$\int_{t0}^{t1} V_Ldt=\int_{t0}^{t1} Ldi_L$

$\int_{t0}^{t1} V_Ldt=L(i(t1)-i(t0))=0$，電流是週期的，每過一週期值相等。

而且電壓$V_L$的平均值為$V_{av}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}V_Ldt$ ，該值也會等於0。
上面積分裡面是電壓乘秒，故稱伏特秒平衡。
電容推倒則把電壓換電流即可。
### 磁路

跟電路類比一下就會懂了ㄅ。

## 第四章 電腦模擬

### 開環路的大訊號模擬 Large-Signal open loop
只是驗證系統的初步功能行為是否正確，有沒有符合預期，畫一下電路圖，使用理想元件來進行模擬。
### 線性(小訊號)模擬 Small-Signal Linearized Linearized Model
當由大訊號模擬確定電路行為之後可以開始檢查系統的**穩定度**，及使用**自動控制**理論來設計控制電路。
此時的電路模擬在穩定點上，以觀察微小變化量對系統的影響。微小變化量意味著線性進似。

### 閉環路的大訊號模擬Closed-Loop Operation
Large Disturbances Large Disturbances
當控制電路設計好後進行驗證的部分。加大輸入的擾動，並考慮到除了開關以外元件的非線性、飽和引響。
在這階段，開關還是使用理想開關模型。
### SWITCHING DETAILS
在這階段開始考慮作為開關元件的參數問題。把開關的非理想狀態帶進來。
通常只會模擬幾個開關週期的時間，並不會太長。

## 第五章 二極體整流電路
### RL 負載

如果負載端有儲能元件如L或C 從電源端抽取的電流相位就會失準，也就是說功率因數不會1，能從圖片看到電流明顯的落後於電壓，因為電感的緣故。 重要的是電感身上電壓的變化，它需要符合電壓秒平衡，否則不會達成穩態(不是燒掉，就是不會動作)， 而電感電壓的轉態點是當Vd小於Vr時，因為電感不允許電流的快速變化，所以感壓則需從正變負使二極體導通，讓電流通過。

### 反電動勢負載
二極體導通條件 當Vs>Ed時 ， 但電流相位會因為電感而落後，電壓波型會因為定電壓而失真。
$V_L$的轉態點會在$E_d>V_s$時，電感的電壓也需要符合電壓秒平衡。
二極體的逆偏電壓會有一段因為電感的負電壓而有斷崖式的波型。

### 橋式整流

如同我們之前學過的全波整流(有吧?)。比較有趣的是當負載為一定電流負載時，功率因數會有所下降，因為方波是奇諧波累加而成，所以會大於基礎頻率的$i_{s1}$，即:$i_{s}>i_{s1}$，因此功率因數會下降:
$PF=\frac{I_{s1}}{I_s}*cos(\phi)$

### 線感對電流換向(Current Commutation)的引響
先考慮一個半波整流電路，當有線感時會導致平均輸出電壓降低。
假設$V_s=\sqrt{2}V_s sin(\omega t),L_s=0$右側是它的波形。
讓$L_s\neq0$，當$V_s$開機的瞬間，$D_1$自然導通，$D_2$被電流源$I_d$強迫導通，此時$i_{D1}$被$L_s$限制住了，還在慢慢升起，當升至$I_d$時$D_2$兩端跨壓等於$V_s$被截止。
我們可以算一下，在$\omega t$介在$0,u$的區間內，因為D2被導通(短路)，用KVL可得到
$V_L=V_s=\sqrt{2}V_s sin(\omega t)=L\frac{di_s}{dt}$
同乘dt後兩端積分，範圍為$0至u$，順手變數變換一下$t->\omega t$
$\int_0^u \sqrt{2}V_s sin(\omega t)d(\omega t)=L\omega\int_0^{I_d}d(i_s)$計算結果:
$\sqrt{2}V_s(cos(u)-1)=L\omega I_d$

### 橋式整流Current Commutation
由於前面提到了半波的電流換向會使Vd為0一陣子，全波整流也會有一樣的問題，電壓輸出有一段時間($\omega t=0到u$)會為0，導致$V_d$平均值降低。
公式給你不導了:
$V_d=0.9V_s-\frac{2\omega L_s I_d}{\pi}$

### 定電壓下的全波整流
原理與第2點一樣，只是從半波變全波而已，重點還是須維持伏特秒平衡。
### 整流加上電容濾波
由於濾波電容非無限大的緣故，$Vd$的呈現會是有些微的波動(ripple)。
二極體導通的關鍵是當VS>Vd時，而電流會慢慢上升，至於截止是由電感所決定，但伏特秒平衡的交叉 點會是Vd=Vs時。
由最後一張圖能看的出來is非完美的弦波，這也會是PF下降的其中一個原因。
### 線電壓失真
$Vpcc$就像是個並聯的插座(延長線)，任何電器都能使用，且實際電器內部都會伴隨著電感，而這就是造成Vpcc線電壓失真的主因。把Vpcc的電壓用公式寫出來會是
$V_{PCC}=V_s-L_{s1}\frac{di_s}{dt}$ 而$i_s$可以由傅立葉轉換變成$i_{s}=i_{s1}+\sum_{h\neq1}{i_{sh}}$，
這也進而推導出$V_{PCC}$ 的失真部分是$-L_{1}\sum_{h\neq1}{\frac{di_{sh}}{dt}}$。
$V_{PCC}$失真的樣子就如下圖，總之$V_{PCC}$失真的原因就是因為線電流上的諧波(harmonic)失真所導致的

### 倍壓整流
檔位在115v時，ac input 正半週時透過D1導通為c1充電，電壓為115v；
負半週時D2導通為c2充電至115v，vd=115v+115v=230v
檔位在230v時，就如同先前提到的橋式整流，並且C1、C2串聯可視為一顆電容，
ac正半週時D1、D4導通為C充電，電壓為230v，負半週時D2、D3導通為C充電，電壓和為230v。

## 第六章 Thyristor(閘流體)應用
### 基礎閘流體電路
基本上整章節都會是以下基礎型電路衍生出來的。

閘流體動作原理在[上面](###Thyristor(閘流體))有比較詳細的說明。
我們按照這個邏輯來分析:要讓它像二極體般導通，需要往Gate送一個突波，之後就會一直導通直到零電流截止。
將附載換成電感性，代表電流會整個落後一個角度(往後移動)，代表就算電壓$V_d$是負值，電流依舊會繼續往負載上灌。

電感上跨壓$V_L=L\frac{di}{dt}=V_d-iR$
電流$i$的波形可以透過積分算出來:
$i(\omega t)=\frac{1}{\omega L}\int_\alpha^{\omega t}{V_Ld\tau}$
如果要讓這電路正常運作則$AreaA1=Area A2$滿足伏特秒平衡。

外接感性反電動勢，斷路時$V_d$就是$E_d$，導通時跟上面分析方式一樣。
需要注意的是閘流體上的跨壓，在觸發之後就是0，直到0電流截止後為$V_s-E_d$。

### 閘流體觸發電路
透過控制閘流體導通的時機$(\alpha)$，就能控制流進去的(電流)功率。
上面是一個簡化流程圖:
透過一塊電路產生與輸入電壓等頻率的鋸齒波，透過比較電路來抓出觸發準位，即可控制閘流體的開啟角度由以下導出:
$\alpha=\pi \frac{V_{control}}{V_{st}}$

### 全波閘流體整流電路(Full-Bridge Thyristor Converters)
#### 理想轉換器+定電流源負載

$T_1$跟$T_2$觸發會綁一起，$T_3$跟$T_4$一組，理想代表負載上沒有電感，也沒有線感。

觸發角度為0($\omega t=0$時觸發$T_1$跟$T_2$,$\omega t=\pi$觸發$T_3,T_4$)，負載抽取一個定電流$I_d$，故正半週時$i_s$線上電流為$I_d$，負半週為$-I_d$(就是圖中的方波)
觸發角度為某正值$\alpha$時，它不會有所謂的0電流自動截止，因為流過閘流體的電流都是$I_d$，所以$V_d$會出現一段的負值。
假設現在$Vs$為負值上圖中區間($\pi<\omega t <\pi+\alpha$)，則$T3$與$T4$兩端跨壓關係:
當觸發$(\omega t=\pi+\alpha)$後$T_3,T_4$順偏導通，電流$I_d$改為流經它們，而原先的$T_1,T_2$則因零電流截止。所以電壓$V_d$再度跳回至正值。

#### Vd平均值:
當$\alpha$角越大，通過的電壓平均值就越小，可以由下面這個式子算出來
$V_{d\alpha}=0.9V_scos(\alpha)$波形如下:
$V_{d0}$就是$\alpha=0$時的均值，當 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 平均值是正值，代表功率被負載吸收，反之當 $\frac{\pi}{2}<\alpha<2\pi$間則是負載在吐功率回來。

#### 非理想有線感轉換器+定電流源負載
實際上的閘流體是需要一段時間來切換的，在這段期間內4顆閘流體都會導通，導致$V_d$有個瞬間($u$)是0。這導致產生一塊沒有功率流動的區間($A_u$)。
假設現在4顆閘流體都導通則$v_d=0$，
$V_s=L_s=L\frac{dI_d}{dt}$,(KVL)
移向，兩邊同時積分，範圍是電流切換的地方:
$\int_{\alpha}^{\alpha+u} V_s dt=L\int_{-Id}^{+Id} d I_d$, $V_s=\sqrt{2}V_ssin(\omega t)$
變數變換$dt->d\omega t$需要多乘$\frac{1}{\omega}$，把它移相給等號右邊
$\int_{\alpha}^{\alpha+u}\sqrt{2}V_ssin(\omega t)d(\omega t)=2\omega L_sId$
等號左邊的面積就是$A_u$的大小:
$A_u=\sqrt{2}V_s[cos(\alpha)-cos(\alpha +u)]=2\omega L_sI_d$
移向一下:
$cos(\alpha+u)=cos(\alpha)-\frac{2\omega L_sI_d}{\sqrt{2}V_s}$，利用這個式子可以算出u是多少。

此時的$V_d$平均值可由導出:
$V_d=0.9V_scos(\alpha)-\frac{2}{\pi}\omega L_sI_d$
其實就是把理想的$Vd$平均值扣掉$A_u$就是了。
#### 實際電路

$V_d=0.9V_scos(\alpha)-\frac{2}{\pi}\omega L_sI_{d(min)}$
利用KVL列出$v_d=r_di_d+L_d\frac{di_d}{dt}+E_d$
同乘$dt$並積分，範圍為一個週期。穩態下電感上電壓對均值貢獻為0
$\frac{1}{T}\int_0^T v_ddt=\frac{r_d}{T}\int_0^T i_d dt +\frac{1}{T}\int_0^T E_d dt$
$V_d=rdI_d+E_d$
反電動勢越大，電流均值($I_d$)越小，瞬時電流$i_d$甚至可能是不連續的，會有0點。
曲線關係:
可以發現重載($I_d$變大)時，電壓會往下掉，很符合常理。
如果要讓輕重載間電壓浮動不要太大，需要調控$\alpha$值，當電流下降時$\alpha$需要上升。

#### 全波閘流體逆變器
基本上就是整流版本，但把觸發角度超過$\frac{\pi}{2}$
通常右邊那個$Id$是一個直流源如:太陽能板、電池等。
動作流程跟上面理想的狀態差不多，不過要注意的是實際上使用時需要讓閘流體的兩端跨壓在轉態完成後仍要保持一段時間$\frac{\gamma}{\omega}> tq$的負值，以確保完全截止。

## 期中考古題

### (1)

請畫出方塊圖並說明AC馬達驅動電路。
##### 答:
動作:
先將定頻交流(市電)透過**Converter 1**(整流器)轉換成直流，並透過C儲能、穩壓給**Converter 2**(逆變器)轉換成**可控頻率、可控震幅**的交流，以驅動AC馬達。
實際電路圖如下:

### (2)
請比較各種可控切換式開關的功率輸出與切換頻率。

##### 答:


### (3)
請畫出並解釋非理想變壓器的等效電路，包含鐵心損失(core loss)。

##### 答:
理想(無損)變壓器模型:

有損模型:
圖(b)是將二次側輸出阻抗反射至一次側得到的模型。
反射後的阻抗計算可利用理想變壓器公式:
$\frac{Z_2}{Z_1}=(\frac{n_2}{n_1})^2$，阻抗成平方正比
移項就能得到

全部的loss都來自於模型中的電阻(應該不難理解)
總共有
1. $R_1$、$R_2$:一次、二次側的線損，俗稱**銅損**
2. $R_m$:磁路在鐵心的耗損(core loss)，俗稱**鐵損**

##### Core loss$(R_m)$產生原因:
因為鐵心會有磁滯現象(hysteresis)，其B-H特性會長的像蛞蝓。
$\mu$只有在各向同性(isotropic)的介質中才會是一常數。
當考慮磁滯時，$\mu$不再是**純量**而是一個空間中$(x,y,z)$的函數:$\mu(x,y,z)$。

觀察一下上圖會發現有兩個點，當$B$場(磁通密度)為0時，磁場強度依舊有值。

所以就算我們把電流切掉，意味著B場消失(請參考[Ampère's circuital law](https://en.wikipedia.org/wiki/Amp%C3%A8re%27s_circuital_law))，在鐵心內部依舊會有一個磁場卡在那邊，它不會一起被切掉。

這很糟糕，我們都知道變壓器工作在交流電，當電流要反相時，會受到該剩餘磁場的引響而降低感應磁通$(\phi)$，導致二次感應電壓降低，如果要消除掉此引響必然需要更大的電流輸入。

$Lm$為**激磁電感**，為描述上述特性使用的模型。

### (4)
請描述幾種電力電子的轉換器(coverter)、系統的電腦模擬方式。

##### 答:
1. 開環路的大訊號模擬
只是驗證系統的初步功能行為是否正確，有沒有符合預期，畫一下電路圖，使用理想元件來進行模擬。
2. 線性(小訊號)模擬
當確定電路行為之後可以開始檢查系統的**穩定度**，及使用**自動控制**理論來設計控制電路。
3. 閉環路的大訊號模擬
當控制電路設計好後進行驗證的部分。加大輸入的擾動，並考慮到除了開關以外元件的非線性、飽和狀態。
在這階段，開關們還是使用理想開關。
4. SWITCHING DETAILS
在這階段開始考慮作為開關元件的參數問題。把開關的非理想狀態帶進來。

### (5)
請描述以下倍壓電路工作方式。

##### 答:
當開關被撥至115V位置時，輸入115電壓的正半週透過整流輸出至C1、負半週輸出到C2上，使C1及C2各充電至115V，兩者合計為230V
而當開關撥至230V時，無論正半或負半週的230V輸入都共同輸出至C1+C2上，使Vd依舊保持在230V。
這種在早期的電腦主機上會看到，現在很少了。

### (6)
請畫出並解釋閘流體(thyristor)的閘極觸發控制電路。

##### 答:

先把輸入交流拉做參考，做出**同週期**的鋸齒波，在利用比較器與控制準位的方式即可精準控制輸入的角度。
因為鋸齒波是線性上升的，角度就可以算出來:
$\alpha=\pi \frac{V_{control}}{V_{st}}$

### (7)
請解釋在PCC(point of common coupling)下線電壓失真(line-voltage distortion)的問題。
##### 答:
假設其他裝置是一個全波二極體整流電路好了，比較簡單。

流進去的電流$is$是斷斷續續的，且有$L_s$的存在，會讓電流失真。
回到上面的問題，$V_{PCC}=V_s-L_{s1}\frac{di_s}{dt}$，既然$i_s$都失真了，$V_{PCC}$必然會醜到爆囉。

## 第七章 直流轉換器

### dc2dc 轉換器的控制
這種DC2DC的電路基本上都是在功率開關上使用脈衝寬度調變(**P**ulse **W**idth **M**odulation)來控制其輸出大小:
透過把輸出電壓拉回來跟目標輸出電壓做差值放大後，餵給比較器跟鋸齒波做比較得到新的脈寬控制訊號:
**工作週期(佔空比，符號:D)越大，輸出均值越高**
$D=\frac{導通時間}{整個週期}$

### Step-Down(Buck)降壓電路

#### 電路與波形:

#### 動作原理
**此電路只能降壓**，在開關導通時，負載與輸入端會直接連接，屬於非隔離式的架構。
上面的LC構成一個Low-Pass，會把超過$f_c=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$的諧波幹掉，這個值會設定的比開關的切換頻率還低很多。

當開關導通時，二極體被逆篇截止，電感上的跨壓為一定值$(V_d-V_o)$，電感電流線性上升，電容上的跨壓同時被充電至$V_0$;
而當開關截止時，二極體被電感電流續流而被迫導通，電感兩端跨壓為$-V_o$，電流線性下降。
此為一個開關週期。
透過電感的伏特秒平衡推導。要維持在穩態，充電時間與跨壓乘積需與放電時間與跨壓的乘積相等:
$t_{on}(V_d-V_o)=V_ot_{off}$
而放電時間為整個開關週期$(T)$減去導通時間:$t_{off}=T-t_{on}$帶入後移項整理:
$\frac{T-t_{on}}{t_{on}}=\frac{V_d-V_o}{V_o}\rightarrow\frac{1}{D}=\frac{V_d}{V_o}$
在CCM時$D=\frac{V_o}{V_d}$，**輸出電壓均值隨著工作週期上升而上升，與其他元件完全無關!**，
#### CCM與DCM的邊界
如果電流在一個開關週期間沒有變成$0$，那就是$CCM$，反之為$DCM$。
來推導一下CCM與DCM的狀態:

假設電流每週期都會在開關導通的瞬間變成$0$，那它卡在CCM與DCM的中間。
如圖中所示，電流以$I_{LB}$為中點(平均值)上下浮動，最高值為$I_{L(peak)}$，那麼$I_{LB}=\frac{1}{2}I_{L(peak)}$
而且我們知道$I_{L(peak)}$是充電時所充到的最高值，是線性上升的，其大小為$\frac{t_{on}}{L}(V_d-V_o)$
推導:由$V_L=L\frac{di}{dt}$

$\int_{0}^{t_{on}} di=\int_{0}^{t_{on}}\frac{V_L}{L}dt\rightarrow i_{L(peak)}=\frac{t_{on}}{L}V_{L(充電時)}$，$V_L$充電時的電壓上面有提過了，是$(V_d-V_o)$
$\blacksquare$

所以$I_{LB}=\frac{1}{2}I_{L(peak)}=\frac{t_{on}}{2L}(V_d-V_o)$
更進一步的把$t_{on}$換成Duty(D)與開關週期(T)的乘積:
$I_{LB}=\frac{DT}{2L}(V_d-V_o)$，這是只有一個瞬間剛好為0時的電流均值，所以只要讓實際工作電流(平均)小於$I_{LB}$就代表一定工作在DCM了。
我們可以再進一步的利用$D=\frac{V_o}{V_d}$把上式中的$V_o$換掉:
$I_{LB}=\frac{V_dT}{2L}D(1-D)$，這個被稱為CCM/DCM的邊界條件。
試著找出D為何時有最大值，出現在$D=0.5$時:
最大的均值電流等於$I_{LB(max)}=\frac{V_dT}{2L}0.5(0.5)=\frac{V_dT}{8L}$

#### 真的DCM了
代表在一個開關週期中有一段時間電感電流變成0，這個階段改由電容提供負載功率。
由電感的伏特秒平衡可得:
$DT_s(V_d-V_o)=V_o(\Delta_1 Ts)$移項整理
$\frac{V_o}{V_d}=\frac{D}{D+\Delta_1}$
此時的電感電流峰值$i_{L(Peak)}=\frac{V_o}{L}(\Delta_1T_s)$。
看起來很怪對吧?電流在該區間是線性下降的(由最高跑到0)，所以可以用放電那段來計算。
$i_{L(Peak)}=\frac{V_o}{L}(\Delta_1T_s)$。
電流均值就是那塊電流的三角形面積除以$T_s$:
$I_o=\frac{底乘高}{2T_s}=\frac{\frac{V_o}{L}(\Delta_1T_s)(D+\Delta_1)T_s}{2T_s}=\frac{V_o(\Delta_1)(D+\Delta_1)T_s}{2L}$ 把$V_o$用$\frac{V_o}{V_d}=\frac{D}{D+\Delta_1}$換掉

$I_o=\frac{V_dT_s}{2L}D\Delta_1$，再利用$I_{max}=\frac{V_dT_s}{8L}$把前面的係數換掉:
$I_o=4I_{max}D\Delta_1$移項得到:
$\Delta_1=\frac{I_o}{4I_{max}D}$套回去一開始的$\frac{V_o}{V_d}=\frac{D}{D+\Delta_1}$
得到
$\frac{V_o}{V_d}=\frac{D^2}{D^2+\frac{I_o}{4I_{max}}}$

可以看的出來齁，當在DCM時，載變輕($I_o$變小)其輸出電壓會往上飄，或電流變大輸出電壓會變小。

如果要控制在某個固定的輸出電壓，則需要適度的控制工作週期$D$:
**輸出電流越小，D需要越小。**

輸出電壓的連波大小，算下面的$i_L$波形就能得到:
$Q=CV$
$\Delta Q=C\Delta V=\frac{1}{2}\frac{\Delta I_L}{2}\frac{T_s}{2}$(黑色面積)
$\Delta V=\frac{\Delta I_L T_s}{8C}$或者把$\Delta I_L$用$\frac{V_o}{L}(1-D)T_s$換掉得到:

$\Delta V_o =\frac{T_sV_o}{8LC}(1-D)T_s$

### Step-Up(Boost) 升壓電路
#### 工作原理
當開關導通時，電壓直接跨在電感上，電感上有很大的電流。
而當開關斷路時電流瞬間朝負載放電，而使電容上的電壓被充的比$V_d$還高。
#### 連續導通模式
**一樣能透過上面的方式對電感取伏特秒平衡得到公式**，為了篇幅起見，就不推了。
CCM下的電壓關係由$\frac{V_o}{V_d}=\frac{1}{1-D}$給出。
則電流關係為其倒數$\frac{I_o}{I_d}=1-D$
#### CCM/DCM邊界條件
先透過7-13(a)求出它的電感電流的邊界，其電流剛好掉到零，上下對稱所以$I_{LB}=\frac{i_{L(peak)}}{2}=\frac{1}{2}\frac{V_d}{L}t_{on}$
把$\frac{V_o}{V_d}=\frac{1}{1-D}$，$t_{on}=DT_s$ 帶進去，得到:$I_{LB}=\frac{V_oT_s}{2L}D(1-D)$

那麼它的輸出電流邊界也就能利用$\frac{I_o}{I_d}=1-D$來求得:

$I_{oB}=\frac{V_oT_s}{2L}D(1-D)^2$
當輸出電流均值小於它時會進入DCM。
對D取極大值發生在$D=\frac{1}{3}$。
也就是$I_{oB(max)}=\frac{2}{27}\frac{T_sV_o}{L}$

#### DCM下的電壓電流與工作週期關係
推法跟Buck一樣，不過結果**更加複雜**
$D=\sqrt{\frac{4}{27}\frac{V_o}{V_d}(\frac{V_o}{V_d}-1)\frac{I_o}{I_{max}}}$
還是看曲線吧 = =
**當負載變輕時D需要適當的變小，才能輸出固定電壓**，這對於Buck和Boost兩者都一樣，在取曲線上就是由CCM往DCM移動。

#### 輸出連波
對電容做安秒平衡。
$\Delta V_o=\frac{V_oDT_s}{RC}$
### Buck-Boost升降壓電路
它其實是Buck+Boost兩個串一起得到的升降壓電路，升壓或降壓在CCM時全憑D控制，它的輸出與輸入關係由Buck的$D$與Boost$的\frac{1}{1-D}$相乘得到:$\frac{V_o}{V_d}=\frac{D}{1-D}$
開關導通時，電感充電，二極體被逆偏截止。
開關截止時，電感對電容與負載**反向充電**，二極體被迫導通。

#### 電流邊界
右邊的那張圖是指:
當工作週期$D$上升時，其邊界電流條件會下降，**代表更容易進入CCM**
電感電流邊界條件一樣從圖中充電曲線得來:$I_{LB}=\frac{i_{L(peak)}}{2}=\frac{V_dT_s}{2L}D$
再利用$\frac{V_o}{V_d}=\frac{D}{1-D}$替換掉$V_d$，得到:

$I_{LB}=\frac{i_{L(peak)}}{2}=\frac{V_oT_s}{2L}(1-D)$

此外，在放電時輸出電流即為$I_L$，故$I_{oB}=I_{LB}(1-D)=\frac{T_sV_o}{2L}(1-D)^2$
$I_{oB}$與$I_{LB}$兩者峰值都出現在D=0處，把D=0帶回即可拿到兩者的最大值。

#### DCM
把$V_o$固定下的$D=\frac{V_o}{V_d}\sqrt{\frac{I_o}{I_{oB(max)}}}$
看圖說故事:
當D大於0.5時輸出電壓$V_o$是大於輸入$V_d$的，為Boost的特性。
而當D小於0.5時，輸出小於輸入，是Buck的特性。
一樣繼承兩者特性，當載越輕，在DCM時D需要越往下跑。
#### 輸出電電壓連波
跟Boost的一模一樣是:$\Delta V_o=\frac{V_oDT_s}{RC}$

### Ćuk

它是一種升降壓電路，不過上面的那個架構在切換時各有一種連波會比較大。
Cuk的輸入與輸出電流連波會特別小，因為它在輸入與輸出各有一個電感來濾除切換時的諧波。
電路的左半段屬於Boost，右半段是Buck。

當穩態時，電感電壓為0，所以$V_{c1}=V_d+V_o$，可以知道$V_{c1}$會大於$V_d$或$V_o$，它是最大的。

當開關短路時，二極體上的跨壓是$-V_{C1}$，為逆偏。
$V_d$對著$L_1$充電，而$V_{C1}$電壓會讓$L_2$上的跨壓為$(-V_o+V_{C1})$是正值，因為$V_{C1}>V_o$。$i_2$,$i_1$同時都線性上升。
當開關截止時，二極體會被迫導通，讓$L1，L2$續流，兩者同時對D放電(線性下降)，兩股電流都走在二極體上，**電流峰值會很高**，這點同時也會發生在$C1$上所以C1需要能承受高電流連波。

### FULL-Brige de2de(全橋值流轉換器)
它是一個4象限的直流轉換器，代表它可以輸出正負電壓、正負電流，排列組合。
Buck跟Boost不行，功率只能由電源往負載送，這個可以把功率抽回去電源= =。

**這種橋式電路的分析會有一點Tricky**:
當開關吃到觸發訊號後，稱為"導通狀態"，代表電流能**順著開關進來**，
但**如果觸發後電流依舊是反向的(後面有)，那電流走它的旁路二極體而不是開關，
意味著開關只能接受一個方向的電流**，這點要注意!。
且每個橋臂上的開關是互斥的，1開2就不開，2開1就不開這樣。
**非常建議你先記住這個分析步驟，不然你的人生會變的很困難。**

基本上是用PWM來控制開關的觸發，而PWM訊號由一個鋸齒波和參考電壓比較得來的，有兩種控制方式:

#### 雙電壓輸出(Bipolar)
由一個準位電壓分別控制開關$(T_{A+},T_{B-})$為一組，$(T_{B+},T_{A-})$為另一組，當其中一組導通時，另一組會截止，反之亦然。它**只有一組PWM的控制電壓，但輸出是$\pm V_d$所以被稱為雙極性**。
工作邏輯:
當三角波的電壓**小於**$V_{control}$時導通$(T_{A+},T_{B-})$，當三角波**大於**$V_{control}$時導通$(T_{B+},T_{A-})$。

當$(T_{A+},T_{B-})$導通時，$V_{AN}$與$V_d$短路其電壓就是$V_d$，$V_{BN}$被$T_{B-}$短路，為0V;而當另一組$(T_{A+},T_{B-})$導通時$V_{AN}$被$T_{A-}$短路，為0V。
所以輸出端$V_{AN}-V_{BN}等於$圖b-圖c得到圖d。
推導一下，假設參考波是正三角波，那麼它的第一組開關對的導通時間(三角波$小於V_{control}$)那麼三角波上升時的值線能利用直線方程式帶入:$\frac{T_s}{4}$秒內從0上升到$\hat V$的直線求出來
$V_{tri}=\frac{4}{T_s}(\hat V)\ t$
當$t=t1$時$V_{tri}=V_{control}$，帶進去得到
$V_{control}=\frac{4}{T_s}(\hat V)\ t_1$移項整理$t_1=\frac{T_s}{4}\frac{V_{control}}{\hat V}$
所以第一組開關$(T_{A+},T_{B-})$導通的時間就是兩倍的$t_1$加上半週期(看圖)，$t_{on}=2t_1+\frac{T_s}{2}=\frac{T_s}{2}(1+\frac{V_{control}}{\hat V}\ )$
它的工作週期就是$D_1=\frac{t_on}{T_s}=\frac{1}{2}(1+\frac{V_{control}}{\hat V}\ )$
另一組的工作週期就是$1-D_1$
可以看出來調整$V_{control}$的大小和極性(可以是負的)可以控制$D_1$的大小，使輸出電壓在$\pm V_d$變化，舉個例子當$V_{conrtol}=-\hat V$時輸出就是$-V_d$，自行想像下。

#### 單電壓輸出(Unipolar)
把$(T_{A+},T_{B-})$與$(T_{A+},T_{B-})$兩組由兩個電壓來控制
所以它**有兩組PWM的控制電壓，正負V control**，而輸出只能在$+V_d$到0擺動，所以叫**單電壓**
工作邏輯:
當三角波在$V_{control}$以上時把$(T_{A+},T_{B-})$截止，其餘時間導通。
當三角波在$-V_{control}$以下時把$(T_{B+},T_{A-})$導通，其餘時間截止。
所以它最後在$V_o$上的方波會多一倍，意味著兩者在同樣的切換頻率，會有更高頻的諧波，這是好事，代表濾諧波變簡單了(Low pass filter)。

## 第八章 DC2AC逆變器

如果你還記得第一章的電力電子concept，**目的是把定頻市電，轉換成可控頻、震幅可控的交流**:
我們現在已經走到**Switch-Mode Inverter**了，可以幹嘛? 控制並驅動交流馬達唄
而這章的電路架構基本上跟上一章的橋式差不多，控制邏輯也差不多不過是把直流電轉成交流電。
所以繼承了4象限轉換的特性(可以把功率從負載吸回電源)
舉個實際例子:
當交流馬達被外力煞車(制動)時，會有逆向感應電流產生，而讓功率從馬達流回直流端，如果可以收起這些功率並再回收利用，豈不妙哉?稱為**再生制動**，有興趣者自行查詢，故不多贅述。

電路的基礎架構都長這樣，不過這個叫半橋，有上下兩個橋臂，
再串一個一模一樣架構的給它，就變成全橋，串兩個變三相這樣。
當上橋$T_{A+}$被短路時，輸出$V_{Ao}$為$\frac{V_d}{2}$，當下橋$T_{A-}$被短路時，輸出$V_{Ao}$為-$\frac{V_d}{2}$，所以所有的方波都只有兩個值$\pm \frac{V_d}{2}$。不過根據控制開關的方式，常用有三種控制方式:

### PWM脈波寬度調變
做法是拿一個參考弦波，跟一個**高頻三角波**做比較，而這個弦波頻率就是打算輸出的交流弦波頻率。
當弦波大於三角波電壓時，把上橋$T_{A+}$打開，輸出為正$\frac{V_d}{2}$，反之開下橋$T_{A-}$，輸出為負$\frac{V_d}{2}$，波形就像上面那樣，是一個寬度會變化的方
波。
定義兩個參數一個叫振幅條變指數$m_a$，**定義為參考弦波與三角波兩者峰值的比值**，$m_a=\frac{\hat V_{control}}{\hat V_{rti}}$。
當$m_a\leq1.0$時會跟你PWM出來的方波的諧波的大小有關。

另一個參數叫頻率調變指數$m_f$，**定義為三角波與參考弦波兩者的頻率比值**:
$m_f=\frac{f_{tri}}{f_{control}}$，它控制你的諧波出現的位置，當三角波頻率越高，則你PWM出來的諧波會越高頻，代表濾波器可以更好做了。
**請注意兩個調變指數的分母與分子是誰除誰!**
**還有PWM有分同步(Synchronize)與非同步(Asynchronous)兩者差異在於$m_f$是否是整數，整數就是同步式PWM，非整數(有小數)就是非同步的PWM**
如果是非同步會產生很多的低頻諧波，會讓電路輸出變很髒，要盡量避免。

而這種調變的的諧波圖如下，當振幅調變指數$m_a=0.8$則它的諧波峰值就是$0.8*\frac{V_d}{2}$,不過圖有對$\frac{V_d}{2}$正規化，所以只有0.8。
**這點只發生在$m_a\leq1.0$，稱為線性區。**
**頻譜看起來會有一點Tricky**，它有基本的1(就是正弦波的頻率)，還有$m_f$的**奇整數**倍諧波與它左右兩側的成分。
**當是$m_f$的偶次諧波時，只有左右兩側的諧波**，仔細看$2m_f$上並沒有東西，它的兩側才有。
所以當$m_f$是奇數時，它的所有諧波都會是奇數，反傅立葉後只有sin項而沒有cos。
**結論，當$m_f$要是奇數，然後要是整數的(同步)**

討論一下當$m_a>1.0$(過調OverModulation)會發生什麼
頻譜會整個髒掉，會跑出很接近1的諧波，要慮波低頻是很難的，慮波的成本會增加，
不過好處是能夠讓基本波的輸出值更大!
輸出$V_{Ao}$與$m_a$的關係曲線，當超過一個值$(m_a>3.24)$之後，它就完全輸出方波了。

### 方波切換法(Square-Wave Switch Scheme)
它可以看成上面那個過度調變的特例。
工作邏輯:讓上下橋個別輸出半個週期
舉例:我要60Hz的交流，那上橋臂就會導通$\frac{1}{2}\frac{1}{60}$秒，下橋也是一樣的時間。

那切出來的就完全是個方波，波形就很髒，一堆**奇數**諧波在裡面，不過輸出功率是真的高。
然後它的輸出電壓沒辦法透過調變控制，需要額外的電路來控制$V_d$大小

### 電壓消去法(Voltage cancellation)
它把PWM跟方波切換兩個搞在一起弄出來的。
邏輯是把PWM的兩組分開來控制，每次導通半週期，且兩者導通時間具有相移:


可以看出來$V_{BN}$超前了一個$\alpha$角度，所以合成的輸出$V_o=V_{AN}-V_{BN}$會變成少一塊的方波:
慢慢變得像正弦波了，對吧?
這是$\alpha$角對應的總諧波失真圖，在60度附近有個極低點，效果應該會最好。
### 比較一下方波切換與PWM的漣波
左邊是方波切換，右邊是PWM。
可以很明顯看到方波切換的漣波都超大，PWM在這點完勝。
但是PWM高頻切換下的的Switch Loss會比較大。
方波的優勢在於開關效率跟損耗都比較低，且輸出功率可以拉高。

### 全橋逆變器
就說幾乎長的一模一樣ㄅ，全橋的控制一樣分bipolar跟unipolar，分別方式一樣看控制訊號，只有一個$V_{control}$是bipolar，有$\pm V_{control}$是unipolar

#### Bipolar
由一個準位電壓分別控制開關$(T_{A+},T_{B-})$為一組，$(T_{B+},T_{A-})$為另一組，當其中一組導通時，另一組會截止，反之亦然。
**輸出是$\pm \frac{V_d}{2}$所以被稱為雙極(Bipolar)**。
然後輸出(方型的)電壓拿去慮波之後(假設慮得很好)，輸出電壓會變成弦波，且直流側(被抽電流)也會被抽成有弦波形狀的方波電流。

#### Unipolar


工作邏輯:
當三角波在$V_{control}$以上時把$(T_{A+},T_{B-})$截止，其餘時間導通。
當三角波在$-V_{control}$以下時把$(T_{B+},T_{A-})$導通，其餘時間截止。
跟橋式直流控制邏輯一樣。

整體來說，$V_o$會具有更高的切換頻率，代表能把諧波趕去高頻而降低慮波成本。

### 推挽式(Push-Pull)逆變器
**電壓波型與半橋或全橋的輸出一樣。**
兩個開關同時只有一個導通，可以用方波或PWM的方式來切換。
優點是它用變壓器做出電源隔離。
缺點也是變壓器耦合會遇到一次側的鐵心直流飽和問題，會容易飛掉，
還有頻率做不高。只能用在低頻低功率環境下。

### 三相的逆變器
**它不是把值流轉成三項電，而是拿三個橋臂去切出一個正弦波輸出。**
#### PWM
它會有三個參考電壓各差$120^{\circ}$:
**所以具有天生的更高頻**，然後會把基礎波(1)的3n(3,6,9,12)倍諧波幹掉
**所以只要設定讓$m_f$是3的倍數，它就會自動消失**，可以把諧波失真整個壓掉。
跟PWM一樣會有$m_a$過調製的問題，超過閥值會退化成方波切換:

#### 方波切換

**一樣，3的整數倍諧波被幹掉**
#### 比較漣波:


跟單橋或雙橋都一樣，方波切換的Peak就是比較大，輸出功率也比較大，Switch Loss比較小。
PWM的慮波成本可以比較低，高頻切換的Sw Loss比較大。

#### 直流側電流
非常醜，但其實還好，因為它是高頻，且根你切換的頻率有關的，對直流電壓$V_d$沒什麼引響。

### 空白時間(Blanking Time)或稱(Dead time)
實際上開關在導通與截止是需要時間的
不留一點空白給他的話，上橋還沒完全截止，下橋就觸發，會導致外部的直流$V_d$短路，那的東西動則上百伏特，直接就飛掉了。這種死法都很壯烈--by 邱煌仁

所以會在切換時給它緩一緩$(\Delta t)$;在該關的地方停一下，才讓另一個橋臂打開，而這點會讓輸出的電壓產生一定的偏移:
原本沒有空白時間時應該是沿著通過原點的線在變化，而如果有空白則會變成跑另一條線(斜率不變)
那個還是補一下數值好了:
$\Delta V_o=\left\{\begin{align}
\frac{2t_{\Delta}}{T_s}V_d, i_A>0\\
-\frac{2t_{\Delta}}{T_s}V_d, i_A<0
\end{align}\right.$
而且空白時間也會導致在0交越點產生失真:
實際波形在電流交叉處產生一個平台，當$i_o>0$時，變成跑在靠下的直線，所以實際輸出的sin整個往下移(比理想來的低一點);反之，當$i_o>0$，變成跑上面的直線，所以實際的sin又比理想在高一點。

### 其他切換技術
*這邊估計不會考，已經屬於自動控制的範圍了。*
#### 諧波消除切換法(Programmed Harmonic elimination switching)
就是在做方波切換時加入角度不同的凹陷處(Notchs)來達到使某幾個諧波給消除的目的。
最值觀的引響就是切換頻率提高，其諧波會往高頻處跑。
書上是寫能直接指定要消除的諧波次數，不過沒給具體推導，叫我們去看文獻。
圖表提供一組數據，能消除第五($5n*m_f$)、第七次$(7n*m_f)$諧波，
並給出角度的最佳解，如圖表上提供的三組角度能讓5、7諧波完全消失。

#### 誤差邊帶電流法(Tolerance-Band Current)

從輸出把電流拉回授做比較，把實際輸出電流控制在一個隨著Sin的形狀的小範圍區間中擺動。
缺點是難控制+它沒有任何能殺掉諧波的方法，慮波困難。

#### 定頻控制法(Fixed -Frequency Control)
PI兩字是**P**roportional(比例) **I**ntegral(積分)。

把輸出電流拉回來跟參考電流做誤差放大，在過比例積分控制器(PI controller)後生成$V_{control}$控制訊號，然後在跟補償訊號(Feed forward)合成、比較後，餵給逆變器。

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