# 通訊系統筆記

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**特別銘謝:
羅兆富 提供課堂筆記資料**
## 更新日誌
本篇暫時為類比通訊上課的內容，之後若有修數位，通訊系統(二)時再補上去
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#### 23/05/18
開始編輯
#### 06/04
因應考試需求，先從VSB開始寫
#### 06/09
撰寫AM與DSB

## Basic concept
阿宗師教的不錯，挺推的。

為什麼要做調變?因為欲傳輸訊號的頻率太低了，假設要傳輸一段語音訊息$m(t)$，其頻率最高約1Khz(人聲大概300Hz)，其在真空中的波長大概是$\frac{3*10^8}{1*10^3}=3*10^5$公尺，要具有效輻射的天線大概要半波長，也就是150公里。
實際上根本不可能做到這種尺寸的電路，所以要把訊號做"調變"，就是把它放到一個**高頻的訊號上**，讓這個訊號變成高頻而能顯著的縮減電路尺寸。

而把$m(t)$放在載波$C(t)$不同的位置而有不同的調變方式。

## 屬性以及有用的性質
有幾個參數可以拿來度量一個調變技術包括了
1. 複雜度(成本)
2. 效率
3. 頻寬利用率

其中複雜度的意思是電路與實作的複雜度，其與製造成本高度相關。
#### 效率
效率即為$m(t)$的功率與調變後傳送的訊號$S(t)$的功率之比，寫成數學:
$Efficiency=\frac{P(m(t))}{P(S(t))}$
其中$P(m(t))=\frac{1}{2T}\int^T_{-T}|m(t)|^2dt$

$P(S(t))=\frac{1}{2T}\int^T_{-T}|S(t)|^2dt$
算起來會挺複雜的。
#### 頻寬利用率的計算
定義為$m(t)$之頻寬與調製後訊號頻寬之比:

利用率$=\frac{m(t)之頻寬}{S(t)之頻寬}$

#### 升頻定理
眾所周知(應該吧?)，摺積定理說:兩線性訊號在時域相乘為其在頻域摺積(convolution)
所以當一個$m(t)$乘$cos(\omega_ct)$後會變成，$M(j\omega)*F(cos(\omega_ct))$，圖解:
數學描述:
$\mathscr{F}(m(t)cos(\omega_ct))=\mathscr{F}(\frac{1}{2}m(t)(e^{-j\omega_ct}+e^{j\omega_ct}))$，歐拉公式把cos換掉
當$m(t)$乘上$e^{j\omega_ct}$或$e^{-j\omega_ct}$再做傅立葉轉換時，可視$m(t)$的頻譜在頻率域上平移([傅立葉轉換基本性質](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2#%E5%B9%B3%E7%A7%BB%E6%80%A7%E8%B4%A8))，所以會等於$M(j\omega)$跑到 $\pm\omega_c$的地方，各一塊。
**用數學寫真沒意思，還不如用圖解好懂==**

## Amplitude Modulation(振幅調變)
無線類比通最基本的形式，使用最簡單的振幅檢測就能接收。
它把訊號$m(t)$放在$S(t)$的**振幅上**，故稱為振幅調變。
#### 發射端:

人如其名，AM發射訊號$S(t)$的樣子應該$cos(\omega_ct)$在$\pm |m(t)+Dc|$間擺動:
*DC值需要足夠大，使得m(t)+Dc恆大於零，否則會有半週的訊號丟失*
舉個例子$m(t)=sin(x)，Dc=1$，這個Dc足夠大了
調製出來:

可以看出$S(t)$被上下兩條線分別為$sin(x)+1$以及$-sin(x)-1$所包絡，
而振幅檢測器所收到的值會是$|S(t)|$，就會剛剛好是$m(t)+Dc=sin(x)+1$(上包絡線)
如果DC不夠大的話:
可以看出來收到的R(t)跟原始訊息$m(t)$少掉一半:
它下半週的訊號都不見了，所以需要加上足夠大的$Dc$值，否則負半週的訊號會丟失。
#### 效率、頻寬利用率
假設$m(t)=sin(\omega_mt)$，其中$\omega_m$<<$\omega_c$，那麼能夠使訊息不失真的最小$Dc=1$，調變後的結果為$S(t)=(sin(\omega_mt)+1)cos(\omega_ct)$乘開後透過積化和差得到:
$S(t)=\frac{sin((\omega_c+\omega_m)t)+sin((\omega_c-\omega_m)t)}{2}+cos(\omega_ct)$，總功率是三個弦波的功率和。
假設弦波作用於電阻$R$上，其功率為$P=\frac{V_{p}^2}{2R}$
所以$S(t)$的總公率為$2*\frac{0.5^2}{2R}+\frac{1}{2R}=\frac{0.75}{R}$，其中$m(t)$的功率為$2*\frac{0.5^2}{2R}$，其最大效率為$\frac{0.25}{0.75}=\frac{1}{3}$。

頻寬利用率的定義為$\frac{訊息頻寬}{發射頻寬}$，已知m(t)被乘上$cos(\omega_ct)$升頻後會被頻移，寬度不變:
所以頻寬利用率為$\frac{1KHz}{2KHz}=0.5$

#### 接收端
把$S(t)$接近來之後，透過振幅檢測器即可把|m(t)+Dc|取出來，由於它恆正，可以直接去掉絕對值，在透過電容去除$Dc$項後，即可還原回$m(t)$訊號。

## DSB
由於AM傳輸時不時需要一個$DC$項，會浪費額外的功率，故使用此方法來改善其效率的問題。
*以電路複雜度換取效率。*
#### 發射端
把AM的發射去除掉DC項即可。
其頻譜表現跟AM長的一樣:
頻寬利用率跟AM一樣是0.5，但效率能夠$\approx 1$

#### 接收端
接收端有一點複雜，因為電磁波傳輸有延遲，接收端的的所收到的訊號是
$S(t-\tau)=m((t-\tau))cos(\omega_c(t-\tau))$
我們只需要把它乘上一個**相位一模一樣**的$cos(\omega_c(t-\tau))$，
再通過一個LPF即可還原訊號，數學操作如下:
$m((t-\tau))cos(\omega_c(t-\tau))*cos(\omega_c(t-\tau))$，*使用cos半角公式*
$=m(t-\tau)\frac{1}{2}(1+cos(2\omega_c(t-\tau)))$
$=\frac{1}{2}m(t-\tau)+\frac{1}{2}m(t-\tau)cos(2\omega_c(t-\tau))$
通過LPF把2倍頻去除，即可得到$m(t-\tau)$。

**能否解調的關鍵，在於能否得到正確的相位延遲**，若本地震盪端與接收訊號的$cos$有一咪咪的相位差，就不能順利解調。
至於如何取得正確的相位差請參照[這裡](####處理相位延遲)

## VSB
VSB的全名為殘留邊帶調變(**V**estigial **S**ide **B**and)，(記憶法: 影片**V**ideo，**V**SB)
這種技術是為了改善DSB或AM中頻寬利用率的問題，而衍生出來的技術。
AM或DSB通常是傳送語音，頻寬約落在數Khz左右。
但當需要傳送影片資料時，其頻寬暴增至數Mhz，使得服務用戶數下降(頻寬是有限資源)，
**故消除傳送頻寬是有其必要性的。**

分成兩種
1. 同步式
2. 非同步(主流)
### 同步式VSB傳送端
因為時域處理不太重要(過於繁瑣與複雜)，我們採用頻域來了解他的動作原理:
根據升頻定理，$m(t)$與$cos(\omega_ct)$相乘的結果會產生兩塊左右對稱的頻譜(正負$\omega_c$處)。
其中小塊的又是以$\omega_c$左右對稱，故不需要傳送完整頻段，只需取**一半**來送即可即可。
這是類比通訊的極限，就是**至少**需要傳送一半的頻譜，否則解不出來。

大白話，其實就是DSB再加上BPF，把其中一塊對稱的頻譜給去除。
如果是保留上半部的頻譜稱為**U**pper **S**ide**B**and，反之稱為**L**ower **S**ide**B**and。
$-2\omega_c$
所以它最大頻寬利用率可以達到$1$。
但是BPF不見得都是長方形的，他可能是怪怪的弧形像是:
然後他其實會**殘留**一段頻譜(藍色處):
這就是它的名稱中**V**estigial的來源。
為了要在有殘留的情況下依舊能夠解出原始訊息，其BPF必須有所限制:
數學描述的條件為，假設BPF的頻譜為$H(j\omega)$
他必須滿足:$H(\omega-\omega_c)+H(\omega+\omega_c)=1$
意味著他左右平移後在低頻時要對稱:
$H(j\omega)$藍色的部分，綠色部分為左右平移後的結果，只要能滿足上面那個條件
那這就是一個足夠好的BPF，就算他長得不是長方形依舊能用!

#### 接收端
他收到$S(t)$的會是兩塊，乘上$cos(\omega_ct)$後把自己整個平移到$\pm\omega_c$處相加。得到第二張圖中間的的結果，然後再透過LPF把高頻的地方$(2\omega_c)$去除，即可留下$m(t)$。

#### 處理相位延遲
當接收端解調變時，必須要乘上一個與調變時相同的$cos(\omega_ct)$否則它升頻後會壞掉，沒辦法解回原來的訊息。
但在實際傳輸的過程中$S(t)$到接收端時會有一個時間上的延遲$S(t-\tau)$，那麼解調要用的弦波必須變成$cos(\omega_c(t-\tau))$，兩者需要有相同的時延。
##### 同步法
有一種做法是在BPF濾除多於頻寬後，在加入一個Clock讓傳送訊號變成:$S(t)=m(t)cos(\omega_ct)+\hat{m(t)}sin(\omega_ct)+COS(\omega_st)$
然後透過鑒相器產生一個相等相移的$cos(\omega_c(t-\tau))$去解調。
##### 主流做法(非同步)
另一種是給他加一個**很大**的直流項在$m(t)$上面，他就會變成
$S(t)=(m(t)+DC)cos(\omega_ct)\pm$(去除頻寬部分)。
因為DC項很大，所以它的振幅會近似於$DCcos(\omega_ct)$，透過振幅檢測器能夠把這部分給摳出來。在送進去鑒相器中得到時延後的cos解調。
*拿效率去換複雜度*

## FM
這東西是碩果僅存的類比通訊方式。
他具有效率高、品質佳(要用頻寬換)、接收簡單的優勢。
FM是現今語音傳送的首選，AM已經死透了。
#### 數學基礎
人如其名，他是把$m(t)$給調製在頻率上面，它所傳遞的訊號形式為:$S(t)=Cos(2\pi (f_c+k_f\int_0^t m(u)du))$，
其震幅在傳輸期間保持不變。

基本上$S(t)$的頻率$f$與$m(t)$成正比，$m(t)$變大等於$S(t)$的頻率變高:
$S(t)=Cos(\theta(t))$，其中$\theta(t)=2\pi (f_c+k_f\int_0^t m(u)du)$
$S(t)$的頻率會是$\frac{1}{2\pi}\frac{d\theta(t)}{dt}=f_c+k_fm(t)$，繪製出來:


##### 估算頻寬(使用卡森法則)
如果你想知道FM的頻寬大小，使用傳統的傅立葉分析當然可以!不過提醒你一點，FM的函數**是不可積函數**，所以路途中必須要使用級數解，最終會變成使用Bessel function來描述。

使用卡森法則可以比較快的得到頻寬的大小，~~這才是工程師該學的~~。
卡森法則:估算的頻寬會是頻率變化量加上m(t)的頻寬的兩倍。
$CBR=2(\Delta_f+f_m)$
假想的S頻譜分布: $S(j\omega)$是:
$f_m$就是$m(t)$的頻寬，若是語音就1kHz。$S(t)$的頻率$f=f_c+k_fm(t)$，會造成頻率產生變化的那項係數為$k_fm(t)=\Delta_t$，所以若語音的品質越高，頻寬會加大同時，FM的頻寬也會變大。

#### 發射端
有兩種方式能產生FM訊號:
1. 透過VCO(電壓控制震盪器voltage-controlled oscillator)**直接產生**
2. 透過倍頻器，**間接產生**

##### VCO
直接由VCO來產生一個電壓與頻率相關訊號，由於震盪器很容易受外部因素引響(如溫度與濕度)，效果比較不穩定，並不推薦。

#### 間接式
先產生出$cos(\frac{\theta(t)}{N})$，倍N頻後就變成FM訊號了，通常N會很大。
當N很大時可以把$cos(\frac{\theta(t)}{N})=cos(\frac{2\pi(f_ct+k_f\int m(u)du)}{N})$近似成:
$S(t)\approx cos(\frac{2\pi f_ct}{N})-sin(\frac{2\pi f_c t}{N})\frac{2\pi k_f\int m(u)du}{N}$
$S(t)$能簡化成:
再把它串進去N倍頻器中:
#### N倍頻
數學上可利用cos的N次冪轉N倍角公式:
當$cos^N(\frac{\theta(t)}{N})$時它會爆出一堆高頻的諧波，包含了我們要的$cos(\theta(t))$以及$cos(\frac{\theta(t)}{N}(N-1))$,$cos(\frac{\theta(t)}{N}(N-2))$等等的成分。
**但是，只有剛好是N倍頻的成分它的中心頻會是$f_c$**，其他的成分會是$\frac{f_c}{N-1}、\frac{f_c}{N-2}$等成分，只要透過一個BPF把$f_c$給框住就行。
至於如何做出N倍冪的cos，只需要使用非線性電路即可。

舉個簡單的例子，二極體輸入電流與電壓成指數關係，大概長這樣$I=e^V$，
泰勒展開後:$e^V=1+\frac{V}{1!}+\frac{V^2}{2!}+\frac{V^3}{3!}...$
只要$V=cos$，就能拿到cos的多次冪值。

#### 接收端
我們只要對收到的$S(t)$作微分:
$\frac{dS(t)}{dt}=\frac{dCos(\theta(t))}{d\theta}\frac{d\theta(t)}{dt}=-2\pi (f_c+k_fm(t))sin(\theta(t)$
就會發現$-2\pi (f_c+k_fm(t))$這坨東西是sin的振幅，沒錯!
只要使用一個振幅檢測器，再濾除直流即可:

#### AM/FM系統
既然振幅檢測可以共用，那不如就做在一起吧:

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