# 線性系統雜談

### 更新日誌
11/22 完成傅立葉轉換物理意義
11/22 傅立葉級數開始動工
11/22 重新編排內容
11/30 修改傅立葉轉換內容
11/30 發現寫得很好的文章:
**傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06**
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
12/09 更新Convolution tips
12/14 更新 奇函數與偶函數分解

最後變更日期 12/14
## 信號的詮釋

### 信號定義

我們可以直觀的理解，所謂的訊號，就是能被賦予意義的東西，不限於特定的形式。
電流、電壓、人聲、電磁場、風、東西掉在地上等等，只要能給出意義，並解讀，就能稱之為訊號。

### 一些系統的分類方式
1. 線性/非線性
2. 時變/非時變
3. 週期/非週期
4. 可逆/不可逆
5. 記憶性/非記憶性
6. 因果性/非因果性
7. 穩定/非穩定
8. 功率(PWOER)、能量(ENERGY)訊號

### 訊號的分解與合成

考慮一個離散訊號 **X[n]** 如下圖 :


它可以被視為一些 **δ[n]** 做平移後疊加起來
注意，在離散的世界中δ[n]被定義成一個高度為1的柱子，或在(0,1)上的點。

所以 **X[n]** 可以被表示成 :
$X[n] = 0\delta[n]+1\delta[n-1]+2\delta[n-2]+1\delta[n-3]+0\delta[n-4]$
化成求和符號表是就是 $X[n]=\displaystyle\sum_{k=0}^{4}a_{k}*\delta[n-k]$
上式中 $a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=1,a_{4}=0$。

所以任意的訊號 **X[n]** 都能用這種方式寫成一堆$\delta[n]$在時間上平移後，乘上對印係數做縮放(Scaling)，再 **加合(疊加)** 合成而得到。
注意，如果要使寫出的式子更為通用，k的上下限應該是$+\infty$ 到 $-\infty$，這裡為了好表示只寫到0到4。

## 線性代數

線性系統這堂課的東西基本上是線性代數的延伸或應用，所以線代沒搞好其實會有點麻。

下面講一些其實是重點但老師沒講到的東西。
**註:11/24去上課發現他開始講這些概念**

線性代數曾經提過Vector space的概念，一個向量空間中任何的向量都能透過基底(base)做線性運算(口訣 : Vector加法,Scal乘法)後得到。
有沒有跟上一節的感覺很像? **任何的訊號，都能透過$\delta[n]$平移後得到**。
沒錯，所有的訊號都能看做是廣義的Vector，而其中一組基底就是 :
讓$\delta$布滿在所有整數上，我只要乘上每個點對應的係數(Scaling)的就能得到任意的訊號了。
這些性質跟訊號是離散還是連續，無關，只要是訊號都能做以上的分解或合成。

線性代數還告訴了我們什麼 ?
一個向量空間的**基底集合**並不是唯一的，只要這組集合中元素彼此互相線性獨立
或者說[span](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%94%9F%E6%88%90%E7%A9%BA%E9%97%B4)(集合)=整個向量空間，那這集合就是所謂的**基底**。

所以我們從這種角度來切入問題，並介紹一個有用的**基底** : $e^{j\omega [n]}$ 或 $e^{j\omega t}$。
在這裡j是虛數單位，$\omega$是角頻率範圍從$-\infty到+\infty$，n或t是原訊號中的變數。

## 一些關於$e^{j\omega t}$的性質與概念
### 1
假設一個輸入$X(t)=e^{j\omega t}$，輸入LTI系統，得到輸出$Y(t)$。
關係是 $X(t)\rightarrow Y(t)$
我們將$X(t)$做時間軸上的平移
得到$X(t-t_0)=e^{j\omega(t-t_o)}=(e^{j\omega t})e^{-j\omega t_o} = e^{-j\omega t_o}X(t)$
可以看成$X(t-t_o)$跟$X(t)$差一個$e^{-j\omega t_o}$的常數倍，根據LTI，輸出也會差一樣的常數倍
那麼$X(t-t_0)$$\rightarrow$$Y(t-t_o)$
就可以替換成 : $e^{-j\omega t_o}X(t)$$\rightarrow$$e^{-j\omega t_o}Y(t)$
可以得到$Y(t-t_o)$=$e^{-j\omega t_o}Y(t)$
結論:使用$e^{-j\omega t}$，可以將時間的平移變成大小的縮放。

### 2
假設一個輸入$X(t)=e^{st}$，$s$是**任意的複數**$s=r+j\omega$，輸入LTI系統$h(t)$。
那麼輸出$Y$就會是輸入$X$與$h$的捲積，且捲積是可以對調位置的(有時會**比較好算**):
$Y=\int_{-\infty}^{+\infty}{h(\tau)X(t-\tau)}d\tau$，偷用上一節的概念把$X(t-\tau)$換掉。
$Y=e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}{h(\tau)e^{-s\tau}}d\tau$
後面那個積分，不覺得看起來很像傅立葉轉換嗎?(把$\tau$換成$t$，讓$s$裡面的$r=0$就像了)
所以$Y=e^{st}H(s)=H(s)X(t)$。
什麼意思?
跟1.一樣的結論，輸出跟輸入長的差不多，不過差一個scaling。

我們可以回到線性代數中，將系統$h$看成一個matrix，輸入$X$看成一個Vector，那上面的行為就能化成，這個關係式子 $Y=HX=\lambda X$
你看$X$輸入之後...又跑出來了，回憶一下，[特徵向量、特徵值](https://zh.m.wikipedia.org/zh-hant/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E5%92%8C%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%90%91%E9%87%8F)。
$X$它是一個eigen Vector，而$\lambda$對應上面的$H(s)$是eigen value，或稱frequency response。
所以對於任意的LTI系統而言，如果輸入有$e^{st}$都會在輸出看到一樣的東西，它叫作eigen function。

### 3

第一次看到這個**複頻率**的東西應該會有點confuse，很難想像它長成什麼樣子，
那我們不妨將它分解開來:
透過[歐拉公式](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%85%AC%E5%BC%8F)，$e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+jsin(\omega t)$，虛數的東西我們觀察不到，
取實部得到 $\cos(\omega t)$。
所以在想像$e^{j\omega t}$的時候能用$\cos(\omega t)$代替。
從這裡也能看出來$e^{j\omega t}$的大小是$1$，由複數大小的計算方式可以知道 : $\sqrt{\cos^2(\omega t)+sin^2(\omega t)} = 1$

## 問一:單位脈衝響應的物理意義是什麼?

簡單的定義:**送一個$\delta[0]$進去系統**U**中後，所得到的輸出就是單位脈衝響應。**

更深層的解釋:
我們只先考慮線性非時變系統 (Linear-Time-Invariant-Systems)
代表這系統的輸入與輸出具有"非時變性"及"線性"的運算規則，則對於一個LTI系統而言

如果要描述系統的輸入與輸出關係只需要單位脈衝響應(Impulse response)就足夠了。

承上一節所說，任意訊號都能被分解成$\delta$的平移乘上對應的大小，那麼根據"線性"與"非時變"的特性，我們只需要把Impulse response乘上對印的大小平移後在疊加後就能得到輸出結果。
舉個例子 :


假設某個系統的Impulse response是 **H[n]** 如下圖:

且input訊號是:

我們將輸入分開來看，各別得到輸出:
第一個輸入(剛好等於一個$\delta$所以輸出就是$H[n]$)
得到下面的東西
第二個輸入
得到下面的東西(等於一個$H[n]$整體變小0.5，注意看輸出的大小，而且有平移)
第三個輸入
輸出(同理$H[n]$放大乘1.5)

我們將三個輸出疊加起來得到

這個例子可以說明單位脈衝響應的平移並縮放，再疊加就能得到這個系統對於任意輸入的輸出。

題外話:上面這個過程十分複雜，所以就有所謂的摺積運算(convolution)其實就是指上面那個過程。

## 傅氏分析

### ㄧ些思考
傅先生到底在幹嘛?為什麼要把堆奇怪的$e$搞在一起?

想像一下 :
今天你吃到一道很好吃的菜，如果我們有幸知道這道菜的食譜，食譜裡有這道菜的配料，用量，烹飪過程，就能重新作出這道菜對吧?(假設你會做菜，然後沒把廚房變成地獄)。

那麼請把訊號想像成這道**菜**，而他的傅立葉分析，不論是傅立葉級數(處理週期訊號)，還是傅立葉轉換(處理**非**週期訊號)，就是在找出它的**食譜**的過程或方法，而這份 *沒那麼好看的* 食譜裡面包含了訊號的配料 $(e^{j\omega t})$，以及用量$(f(t))$。

所以當我們拿到一個訊號的傅立葉分析結果，那就能將其以**不同頻率的弦波乘上對印的大小**，疊加重現出來:
資料來源 : https://en.wikipedia.org/wiki/File:Fourier_series_and_transform.gif

### 問二 : 傅立葉級數物理意義?(施工中

延續[訊號的分解與合成](###訊號的分解與合成)，並請先閱讀關於[一些關於 $e^{j\omega t}$的性質與概念]後再看。

想像今天有個鬧鐘，你想知道它怎麼運作的，第一步就是把它拆開(分解)來看內部構造對吧?如果知曉內部構造就能用其它方法再現出來(合成)。

而我們在分析訊號時也是這個概念，將它拆開、分解開來。
除了直接用$\delta[n]$把訊號值取出來以外，還可以用另外一種方式分解訊號，就是以$e^{j\omega t}$做為基底，在頻譜上處理。

### 問三:傅立葉轉換與反複利葉轉換的意義是什麼?

如[這裡](###線性代數)最後得到的結論:

1. 任何的訊號都能被看成一種廣義的**向量**。
2. 且能被分解成$\delta$在時間上平移，並乘上對應大小而得到。

所以時間軸上遍布的$\delta$是這個向量空間的其中**一組基底**，且每個$\delta[n-k]$彼此是正交(線性獨立)的。
你總不可能乘上某個常數把$\delta[n]變成\delta[n-1]$吧。

再來我們回到題目上，並仔細端詳傅立葉轉換與反複利葉轉換的公式:

傅立葉轉換
\begin{split}
F(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)e^{-j\omega t} dt}
\end{split}

反傅立葉轉換
\begin{split}
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega}
\end{split}

觀察傅立葉轉換中右手邊的積分項，它在做的動作是$t從-\infty到+\infty$，並將f(t)乘上$e^{-j\omega t}$(積分核心kernel)
且我們知道 **(假設你看過上面的東西了? )** ，如果要取出一個向量$V$在另一個向量$K$的方向上的大小(就是投影)，我們只需要將它兩者計算內積 $V·K$ 就能取得其投影大小。

看回傅立葉轉換，等號左邊是$F(j\omega)$，它是一個以$\omega$為自變數的函數，而$F$在$\omega$軸上某點$j\omega=j\omega_o$上的**函數值**大小$F(j\omega_o)$，等於把$f(t)$在$e^{-j\omega_o t}$ 上的分量，由$t=-\infty$到$t=\infty$全部加起來，就是這個積分的意義。
而我們可以更進一步的把$\omega_0$變成$\omega$，那就能得到對任意的$\omega$的函數$F(j\omega)$。

你若以這角度觀察這式子，會發現，不論是反傅立葉轉換，還是一般的轉換，它們都可以以一樣的方式解讀，只要把$\omega$軸、$t$軸對調。
並使用複數內積定義:inner product = $A·B^*$
後面那個要取共軛，這樣才能符合內積的定義。
**我考試是樣寫的 : 反轉換的意義跟轉換相同，不過所觀察的軸不同罷了。**

### ㄧ些性質或tips

~~性質們都有名字，不過有時候講了也聽不懂 = =~~
##### 第一平移定理
$x(t)e^{-at} \Leftrightarrow X(jw+a)$

##### 第二平移定理

訊號在時間上的平移等於在頻域的縮放
$x(t-t_0)\Leftrightarrow e^{-j\omega t_0} X(j\omega)$

##### 摺積定理
時域上的捲績等於頻域的相乘
反之亦然，但要修正常數。

$x(t)*g(t)\Leftrightarrow X(jw)G(jw)$
$\frac{1}{2\pi}X(jw) * G(jw) \Leftrightarrow x(t)g(t)$
##### 微、積分特性

如果你有上過dB的電磁波，你一定會聽過他講過「對時間微分就乘$j\omega$」
$\frac{dx(t)}{dt}\Leftrightarrow jwX(jw)$
對$\omega$微分就乘$-jt$
$\frac{dX(jw)}{dw}\Leftrightarrow-jtx(t)$

## 訊號(函數)小檔案

### 名稱 : 單位步階(Unit Step Function)
代號:$u(t)$,$H(t)$
圖形 :
性質 :
1. 微分為$\delta(t)$。
2. 彈跳高度為1。

其他描述 :
常用於表示訊號的出現或消失。

### 名稱 : 脈衝(pulse function)

代號:$\delta(t)$
圖形 :

性質 :
1. 由$u(t)$微分而得。
2. 函數的高度(值)為Undefined，你要多少就多少。
3. 曲線下面積為$\int^{\infty}_{-\infty}\delta(t)dt = 1$。
4. $\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\delta(t)dt = f(0)$，代表$\delta(t)$可以把$f(x)$在t=0上的值撈出來。

其他描述 :
在離散處理時$\delta(t)$的高度為1，且此函數可作為基底函數。

### 名稱 : Sinc(t)
代號 : $Sinc(t)$
圖形 :

性質 :
1. 定義 : $sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$
2. sinc(0)=1。被定義的
3. 跟方波有不解之緣，方波的傅立葉轉換會變成$sinc(j\omega)$，反之亦然。
其他描述 :
因為跟方波有關係，所以很常出現在例題裡面(一般的sin函數沒辦法傅立葉轉換)

### 斜坡函數(Ramp function)
代號: $r(t)$
圖形 :

性質 :
1. $r(t) = tu(t)$

其他描述 :
不常用的東西，一些很老的書上會有，或者你夠懶可以用。

### 矩形(Square Signal)
代號: $rect(\frac{t}{\tau}),\Pi(\frac{t}{\tau})$
圖形 :

性質 :
1. $rect(\frac{t}{\tau})=u(t+0.5\tau)-u(t-0.5\tau)$

其他描述 :
好用，至少不用寫兩個u(t)，老師似乎很常用這個..

### 三角型(Triangular function)
代號: $tri(\frac{t}{\tau}),\Lambda(\frac{t}{\tau})$
圖形 :

其他描述 :
這個函數有很多種表達方式，可以用r(t)或u(t)去組合得到。

### 符號函數(Sign function)
代號: $seg(t)$
圖形 :
性質 :
1. $seg(t)=\frac{t}{|t|}$
2. $seg(t)=-1+2u(t)$，可以被$u(t)$湊出來。

其他描述 :
因為$seg(t)=-1+2u(t)$，且$\frac{d(u(t))}{dt}=\delta(t)$，所以$\frac{d(seg(t))}{dt}=2\delta(t)$

## 奇函數與偶函數的 tips
想必各位一定看過奇函數跟偶函數的定義:
odd function:
$f(-x)=-f(x)$
even function:
$f(-x)= f(x)$
各自滿足他們的[對稱性](https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B8%E8%88%87%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B8)，但我有一種更簡單的記憶方式。

> 奇函數的泰勒展開必然只有x的奇次項。
> 偶函數的泰勒展開必然只有x的偶次項。

舉個例子:
我們都知道$sin(x)$是一個奇函數，而它的泰勒展開式$sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}...$它只具有x奇次項。

利用這個規律可以簡單的把奇函數用$x$來代替，且用$x^2$來代替偶函數推導出性質。
#### 一些性質
>偶函數的微分是奇函數，奇函數的微分是偶函數，積分亦然。

>奇函數與偶函數正交(線性獨立)。$x$自己跟自己的線性組合不可能跑出$x^2$。
#### 奇函數部分，偶函數部分
假設一個函數f(x)定義域對稱，則f(x)可以被分解成odd part +even part。
推倒 :
假設$f(x)=g(x)+h(x)$
$g(x)$偶函數部分，$h(x)$是奇函數部分
那麼將$x=-x$帶入，並應用奇函數與偶函數性質可以得到
$f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)$
組合$f(x)$與$f(-x)$(加起來或相減)一下可以得到

$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

## Convolution tips

有時候我們要處理捲積的數學其實很麻煩，圖解會簡單點
練習的時候想到的一個小技巧(?)

以兩個高度為1的方波來舉例
**注意 高度必須要為1才能用這種方式圖解，不是1的話請提出常數**

動圖
(來源 維基百科)

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