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title: 米勒指數
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# 米勒指數

## 定義
對一個晶格內部的切面，稱為"晶面"求取米勒指數，便是將該面的"三維截距"取倒數後最小公倍數的向量。

## 怎麼計算截距(二維)
先來一個2維平面的例子:
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJu8BUmRex.png)
這條線與$X,Y$軸，相交於兩點(0,2)與(4,0)。
截距就是在其他基底為0時，該線與所求之軸的交點值。
所以該線的$X$截距為4，$Y$截距為2。
利用截距式，截距放個自的分母$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，可以反推回該線:
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJ7n8Um0le.png)

## 拓展成三維
同樣的，在三維空間中，若要表示一個面，可以用截距式來描述。
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$
其中$a,b,c分別為XYZ$三軸之截距，$\{\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c} \}$即為該面的米勒指數。
以一個簡單的例子舉例之:
![image](https://hackmd.io/_uploads/r1bnfI7Cgg.png)
有一個晶格落在第一卦限$(x\geq 0,y\geq0,z\geq0)$(四象生八卦)
我要求取裡面的這個面$(S)$的米勒指數:
![image](https://hackmd.io/_uploads/Hk50QImRel.png)
最值觀的找"截距"方法就如同在2維平面上找截距一樣。
找到在三個平面$(XY,YZ,ZX)$，$S$面與X,Y,Z軸交點為何。
因為在$XY$平面上$Z=0$，他就是一條線，可以直接視為二維的情形，讀出X與Y的截距，$YZ面上X=0$，$ZX面上Y=0$，找到最好看出來$S$面與哪兩個面相切即可。

## 例題
![image](https://hackmd.io/_uploads/rkmsOIX0gl.png)
從圖中可以讀出構成該面的三個頂點位子如下:$s(a,a,0),t(0,a,a),u(0,-a,0)$，簡單起見，令$a=1$

利用該面切到的兩個平面來讀出截距:
$\overline{su}落在XY面上$，可以讀出X與Y的截距為$(0.5,0,0),(0,-1,0)$。
![image](https://hackmd.io/_uploads/ByxBC870xg.png)

$\overline{tu}$於YZ面上，可以得到Z截距為$(0,0,0.5)$
![image](https://hackmd.io/_uploads/Syky4P70xl.png)


至此，三個截距都拿到了，轉換為米勒指數為$(2a,\overline{a},2a)$
驗證:
![image](https://hackmd.io/_uploads/B1igwDXRlg.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HyABwPQRle.png)


    

