# 微波工程實習報告 　　　　　　　　　　 組別:5
## 主題: Antenna Array
#### 組員: B10902110 陳宏豪

### 摘要和心得
本篇內容為5/15、5/22，上課內容整理。
內有大量動圖，請移步至[HackMd觀看](https://hackmd.io/@MIN69/S185v-8Bn)
推甄的讀書計畫就放這張上去ㄅ。
現在我書桌上有一個威金森分功器、一個電組性T-junction、一個4單元的Patch antenna@3.15GHz。
三塊石頭。微波電路洗出來沒有設備真的跟石頭一樣= =，不能用啊...

趣事一則:
某位同學問我:「微波不是很難嗎，這樣你會不會禿頭啊?」，
另一位同學附和道「你乾脆每天記錄一下髮量好了...」
我一臉茫然的看著他們「我要怎麼紀錄髮量啊...對我的頭皮取**散度**嗎?」
"*哄堂大笑*"

### 增益與指向性
指向性$(D)$，代表往某個方向上的**單位空間角的功率密度**(把各項同性源當標準)，
它是個$(\theta,\phi)$的函數。而增益$(G)$為效率乘指向性。
所以D或G在某個方向$(\theta,\phi)$很大時，意味著在該方向上的功率密度高。

### 傳輸方程式

*個人認為這式子可以先講，畢竟Friis formula把參數都湊到一個式子裡面。
知道後比較好理解為什麼要堆高增益。*
假想空間中有個完美輻射體(isotropic)的發射端，接收天線與它距離$R$:
Friis 說:一個接收天線所接收到的功率($P_r$)與發射天線的總輻射功率$(P_{rad})$、發射增益$(G_t)$、以及**接收天線的有效面積(孔徑)與球殼面積的比值**成正比。
圖畫出來其實挺直覺的?
寫成式子:$P_r=P_{rad}G_t\frac{A_e}{4\pi R^2}$
有效面積(孔徑)一般為$A_e=\frac{G_r\lambda^2}{4\pi}$
得到$P_r=P_{rad}G_tG_r\frac{\lambda^2}{(4\pi R)^2}$
要接收功率大，則要接收端、發射端兩者的增益都要大，所以要藉由天線陣列來達成此目的。

### 天線陣列
只要有兩個以上的輻射單元就能被稱為陣列了。
前面有提到構建陣列的其一目的是為了增加增益，但並不止於此，
陣列甚至還能夠控制波束位置(諸如:peak Gain要出現在哪裡、零點(NULL)要出現在幾度)，
就像麵包師傅按照客戶把麵包捏成某個指定的形狀，不過捏的是電磁場。

當然，設計複雜度與運算量都隨著輻射單元增加而倍增。
下面以最簡單的均勻線性陣列來說明它是如何影響總場的。

### 場型因子
電磁理論是一個線性(linear)的理論，所以它會滿足重疊定理(superposition theorem)。
故一個陣列的總輻射場會是個別單元的輻射場做**疊加**而得(不考慮耦合的狀況下)。
一個各項同性源所建立的電場由$\frac{e^{-jkr}}{4\pi r}$得到。

如果把N個各項同性源排成一值線，彼此間隔$d$且每個激發具有相位差$\beta$，如下圖:

第一個單元貢獻的電場為$E_1=\frac{e^{-j(kr)}}{4\pi r}$，但第二個單元的$r$會比第一單元少掉一個$\overline{OV}$距離，故將第二單元的$r$以$r-dcos(\theta)$替換，

得到第二個單元的電場表示式:$E_2=\frac{e^{-j(kr-kdcos(\theta)-\beta)}}{4\pi(r-dcos(\theta))}$

以此類推第N個單元的電場為:$E_N=\frac{e^{-j(kr-Nkdcos(\theta)-N\beta)}}{4\pi(r-Ndcos(\theta))}$

總電場在r方向上的分量為全部的分量加起來
$E_T=E_1+E_2...+E_N=\frac{e^{-j(kr)}}{4\pi r}+\frac{e^{-j(kr-kdcos(\theta)-\beta)}}{4\pi(r-dcos(\theta))}\ \ \ \ \ \ \ ...+\frac{e^{-j(kr-Nkdcos(\theta)-N\beta)}}{4\pi(r-Ndcos(\theta))}$
用點**Trick**:觀查點在遠場，所以**r**遠大於$Ndcos(\theta)$，把每一項的分母近似成$4\pi r$後可得到:

$E_T\approx \frac{e^{-j(kr)}}{4\pi r}+\frac{1}{4\pi r}e^{-j(kr-dkcos(\theta)-\beta)}\ \ \ \ \ \ \ ...+\frac{1}{4\pi r}e^{-j(kr-Nkdcos(\theta)-N\beta)}$，提出公因式$(\frac{e^{-jkr}}{4\pi r})$

$=\frac{e^{-jkr}}{4\pi r}(1+e^{j(kdcos(\theta)+\beta)}...+e^{j(Nkdcos(\theta)+N\beta)})$
前面那項被提出來的即是輻射單元的場型，稱為單元因子(翻譯?)(Element Factor)，
後面那個級數則稱為場型因子(**A**rray **F**actor)。

仔細端詳AF會發現它是個等比級數，公比是$e^{j(kdcos(\theta)+\beta)}$，讓$kdcos(\theta)+\beta=\Phi$，
利用等比級數求和公式$a_1\frac{(1-r^n)}{1-r}$得到$AF=\frac{1-e^{jN\Phi}}{1-e^{j\Phi}}$，

對$AF$用一點trick:把分子提出($e^{j\frac{N\Phi}{2}}$)，對分母提出$(e^{j\frac{\Phi}{2}})$，會變成
(真的醜= =)
$AF=\frac{e^{j\frac{N\Phi}{2}}}{e^{j\frac{\Phi}{2}}}
\frac{exp({-j\frac{N\Phi}{2}})-exp({j\frac{N\Phi}{2}})}
{exp(-j\frac{\Phi}{2})-exp(j\frac{\Phi}{2})}=exp(\frac{j(N-1)\Phi}{2})[\frac{sin(\frac{N\Phi}{2})}{sin(\frac{\Phi}{2})}$]，$\Phi=dcos(\theta)+\beta$
很好，我們導出N個元素的場型因子與$\Phi$間的關係，
**只要有AF再乘上個別元素的輻射場型就能知道整體輻射。**

$AF$的前面那塊$(exp(\frac{j(N-1)\Phi}{2}))$，是由參考坐標系平移所產生的，前面的推導把座標原點放在第一個元素上，如果把座標原點放在整個陣列的中心，該項會消失。
故對於均勻的線性陣列而言，其陣列因子只與間距$(d)$、激發的相位差$(\beta)$、掃描角度$(\theta)$三者有關。

再來讓$AF$對它的**最大值**做規一化(Normalize):

先找出$AF$的極大值，就是把$[\frac{sin(\frac{N\Phi}{2})}{sin(\frac{\Phi}{2})}]$對$\Phi$一次微分後得0處的$\Phi$找出來再帶回去。
一次微分$\frac{0.5Ncos(0.5N\Phi)sin(0.5\Phi)-0.5cos(0.5\Phi)sin(0.5N\Phi)}{sin^2(0.5\Phi)}=0$，非常好的$\Phi=0$

所以$AF$的極大值為$\displaystyle\lim_{\Phi \to 0}\frac{sin(\frac{N\Phi}{2})}{sin(\frac{\Phi}{2})}=N$
規一化後的$AF_n=\frac{1}{N}\frac{sin(\frac{N\Phi}{2})}{sin(\frac{\Phi}{2})}$

把$AF_n$的圖形透過軟體畫出來就可以觀察特性，想自己玩玩看可以點[這裡](https://www.geogebra.org/calculator/kgvuwwy8)。
#### N的影響
對$\Phi$作圖可以看出來，當N增加時，sidelobe個數會隨之增加，且每一個Beam的零點寬度都是兩倍的$\frac{2\pi}{N}$，因為$AF$的分子中($\frac{N\Phi}{2}=\pi)$時**會出現0點**。

作圖口訣:先把$\pi$分成$N$等分，從0開始一半的Mainbeam占兩格，之後一直到$2\pi$的前兩格為止都每兩格畫一個sidelobe，最後在$2\pi$前兩格補上一半的Mainbeam。
當N=4時，零點的週期為$\frac{2\pi}{4}$就是在$\pm\frac{\pi}{2}、\pm\pi、\pm\frac{3\pi}{2}$時有0點:

當N越大時，會出現越多的Sidelobe，同時束寬變小:

觀察出最大跟次大的sidelobe的峰值會隨著N增加而趨近於$0.217與0.128$，不過不知道這個值怎麼導出解析解。
#### d的影響
在來把AF透過$\Phi=kdcos(\theta)+\beta$作圖在$\theta$平面上，假設$\beta=0,d=0.5\lambda,N=4$。
當$\theta=0、\pi$時$\Phi=\pi、-\pi$帶入$AF=\frac{sin(0.5N\Phi)}{sin(0.5\Phi)}$中會得到0點。

當$\theta=\frac{\pi}{2}、\theta=\frac{3\pi}{2}$時，所對印到的$\Phi=0$為Array Factor的最大值，正歸化後就是1。

畫出來就像:
看的出來它們在$\theta$平面上都是Broadside Pattern(側弦開火!)

而當$d$增加時會跑出更多的sideLobe同時使主波束變窄，(能量守恆!)，
圖解就是把AF在$kd$角度中的所有的Beam塞進去$\theta$平面上。
舉個例子，當N=4時，$kd=2\pi$，就是從AF的$2\pi$的位置(下圖中$x=6.28處$)
把AF從$\theta=0$開始逆時針繞一在圓形圖上。
在$d$超過某個值後，會在正面也炸出兩根Grating Lobes(光柵波束)，上面有提到它是把AF給**繞**在$\theta$上，如果不要讓Grating Lobes出現只要控制$kd$值不要把第二個mainbeam給包進去，該值為$2\pi$減去一個束寬$(\frac{2\pi}{N})$，移向得到$d_{(max)}=\lambda(\frac{N-1}{N})$，只要$d<d_{(max)}$就不會有第二個超大的beam出現在endside。

#### $\beta$的影響
試著調整$\Phi=kdcos(\theta)+\beta$，中的$\beta$值，可以看到Beam在$\theta$平面上**掃描**

這樣就能控制訊號要往哪打啦~不過也同時意味著饋入網路的設計需要考慮到每個單元的相角差，設計不良會導致Beam歪掉。
上面有提到，這種結構出來的都是Broadside，如果要讓它改成Endside的話則需要動$\beta$值:
舉個例子，假設$N=4$,$kd=\pi$ 要讓$\theta=0$處有MainBeam的話，意味著
$\Phi=kdcos(0)+\beta=0$，$\beta$要取$-\pi$:
透過這種**簡單的計算**就能控制它的mainBeam就準確無誤的出現在$\theta=0$處。

### 模擬結果
拿尺量了一下板子上的大小，再拿HFSS去跑。
饋入網路就不做了...有點懶...~~期末報告很多~~

放大截圖:

在3.1GHz時，HPBW大概$44.96$度，PeakGain在0度，為$9.168dBi$。

### 量測結果
#### $S_{11}$
這天線應該是設計在$3.15GHz$的，$S_{11}$<$-10dB$的頻寬大概在$0.21Ghz$，也就是是$6.66$%，頻寬還真大...
#### 場型圖
固定$\phi$掃$\theta$
在$3.1GHz$時Peak發生在0度，為$9.95dBi$，HPBW是55度。
### 後日談
5/22傍晚量測完，回到家約7點半。尋思著怎麼用那Excel檔案中資料把圖給出了，~~不少人在問~~。
敝人不太會用Excel，瞄過Excel中的插入/圖表中沒有極座標的圖就放棄了，便嘗試用Python解決。

大概一小時就能把圖畫出來了，尋思著都用寫程式了，不如順手把Peak跟HPBW給標了。
傳給同學之後發現從資料表直接複製出來的格式會有BUG，跟Excel的版本有關。
索性把程式改成能直接讀取Excel的方式...於是就有```(つ´ω`)つ```
[程式碼與封裝完後的exe](https://drive.google.com/drive/folders/1hTzAAxxAWiLedhiEm2Segtf7_2NBCRmt?usp=share_link)

愉悅~
暑假時寫個能讓HFSS跑完模擬時跳通知的程式好了。

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