# 微波工程實習報告 　　　　　　　　　　　組別:5
## 主題:阻抗匹配
#### 組員: B10902110 陳宏豪

### 摘要及動機
此篇報告為03/27及04/10上課內容的整理。
包含了幾種阻抗匹配的方法，如集總元件、殘段(STUB)、四分之一波長、二項式匹配等。
寫成方式偏向個人筆記，能順便給其他人參考
~~之所以使用hack md寫，是因為Latex打數學實在太快了，根本用不到10秒。~~
hack md 好讀版本: https://hackmd.io/@MIN69/HkgEQrMM3

#### 修課的動機(?)

想像在一個寧靜的午後，你獨自一人坐在咖啡店裡，點了一杯平常喝的咖啡。靜靜地坐在平時的位置上，聞著從廚房傳來咖啡豆的陣陣香氣。
店裡的氛圍十分寧靜，只有幾名顧客而已。
不久後，咖啡送了上來。正當你準備把嘴唇貼上杯口的那一刻，突然從後傳來一陣聲音，打斷了你：「嘿，你能幫我設計一組天線陣列嗎？」
你回頭對這匆忙的人微微一笑，答到：「當然可以」
反問對方：「那麼工作頻率、增益、阻抗、頻寬和極化有什麼需求呢？」。

**不覺得很帥嗎?電波超酷Der~**

### 上課內容
### 為什麼要做阻抗匹配?

我們都知道電磁波入射與反射間的關係(應該吧?)
$1+\Gamma =\tau$
其中$|\Gamma|=|\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}|\leq1$
可以知道要讓透射$(\tau)$最大的情況就是$\Gamma=0$
若失配($Z_L\neq Z_0$)則會有非0的反射$|\Gamma|$，透射就變小，能量就不能有效地輸送到負載端。

**所以要讓阻抗匹配，把電磁波騙進去負載。**

### 多重反射
~~如果沒匹配好會讓電磁問題上升到一個難以想像的程度。~~
畫個簡單的模型:
當sw閉合時第一束波從$V_s$發射出去，沿著$a$方向往負載跑，姑且叫它$a_0$吧，當它碰到$Z_L$時，由於失配，因此產生反射波:
$b_0=\Gamma_La_0$，當$b_0$沿著$b$方向跑到$Z_s$上時，又發生反射$a_1=\Gamma_sb_0=\Gamma_s\Gamma_La_0$。
以此類推，它就像乒乓球一樣一直來回，那麼傳輸線上的總電壓$V$就會是全部a、b之和:
$V=a_0+b_0+a_1+b_1+a_2+b_2...$
$=a_0(1+\Gamma_L+\Gamma_s\Gamma_L+\Gamma_L\Gamma_s\Gamma_L+\Gamma_s\Gamma_L\Gamma_s\Gamma_L...)$，奇偶項分離
$=a_0[(1+\Gamma_s\Gamma_L+\Gamma_s\Gamma_L\Gamma_s\Gamma_L)+(\Gamma_L+\Gamma_L\Gamma_s\Gamma_L)]...$，剛好是兩個無窮等比級數之和:
$=a_0[(\frac{1}{1-\Gamma_L\Gamma_s})+(\frac{\Gamma_L}{1-\Gamma_L\Gamma_s})]$
$=a_0(\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L\Gamma_s})$

所以最好在它在負載上的反射為$\Gamma_L=0$，這樣線上的總電壓$V$就只有$a_0$，以免夜長夢多。

### 史密斯圖


史密斯圖是建立在$\Gamma$平面上的，而$\Gamma$通常都是複數，計算起來**十分複雜**，而這圖讓複雜的計算過程可視化，能變成簡易的圖解。
做這些計算的終極目的是透過一些手段讓元件的輸入阻抗跑到史密斯圖的中心點，即可完成匹配。

通常會把整張圖對某個阻抗正規化，就是圖上全部的值都需要乘上系統的阻抗大小(通常是50歐姆)，才能讀出正確的值，反知要畫上去則需要除以正規化的阻抗。

而且在描述電氣長度($\theta=\beta l$)時，實際上在史密斯圖上的點會移動$2\theta$，
舉個例子，某個阻抗點一開始在$0.5$上，通過$\theta=\frac{\pi}{2}$的傳輸線後會看到$2$，跑到實軸的另一邊。

史密斯圖上的半圓$\phi=\pi$，只需要實際電氣長度的$\theta=\frac{\pi}{2}$，剛好差2倍。

### 集總被動元件(lumped element)
定義上，**電感的阻抗是正虛數，電容則是負虛數**
先假設現在阻抗$Z_L$是純實數(落在水平線上)，比較好記憶:

**串聯電感、虛部為正**，所以阻抗點沿著等實部圓往 **上半圓**轉動(順時針)。
**串聯電容、虛部為負**，阻抗點沿著等實部圓往 **下半圓**轉動(逆時針)。

電感與電容是對偶的，把串聯改並聯，電容改電感(只記上面那組):

**並聯電容、虛部為正**，所以阻抗點沿著等實部圓往 **上半圓**轉動(順時針)。
**並聯電感、虛部為負**，阻抗點沿著等實部圓往 **下半圓**轉動(逆時針)。

旋轉方向與導納或阻抗圓無關。
上面是只使用一個元件的情況，並不能讓實部變成1。
所以就有又串又並的$L$型匹配。
### L-Shape matching
有兩種架構:
(1)先並後串
簡單的推導一下(1):
假設:$Z_L=R+jm$
$Z_0$會是$jx+\frac{1}{jb+\frac{1}{R+jm}}$

兩邊同乘分母$(jb+\frac{1}{R+jm})$得到:
$Z_0(jb+\frac{1}{R+jm})=jx(jb+\frac{1}{R+jm})+1$
再兩邊同乘一次$({R+jm})$

$Z_0(jb({R+jm})+1)=jx(jb({R+jm})+1)+{R+jm}$

因為複數相等，實部與虛部等號兩端相等，剛好能得到兩個方程式。
實部:
$-Z_0mb+Z_0=-xbR+R$
整理下:
$x=\frac{1}{b}+\frac{Z_om}{R}-\frac{Z_0}{bR}$
虛部:
$bZ_0R=-mbx+x+m$
整理下:
$x=\frac{bZ_0R-m}{1-mb}$
兩個等式套一起:
$(\frac{1}{b}+\frac{Z_om}{R}-\frac{Z_0}{bR})=\frac{bZ_0R-m}{1-mb}$
整個乘分母整理出b:
$(R^2+m^2)b^2+(-2m)b+(1-\frac{R}{Z_0})=0$
帶一元二次公式解:
$b=\frac{m\pm\sqrt{\frac{R}{Z_0}}\sqrt{R^2+m^2-RZ_0}}{R^2+m^2}$
有$b$就能帶回去$x=\frac{bZ_0R-m}{1-mb}$找出$x$囉，可以發現共有兩組解。
(2)先串後並
$Z_L=R+jm$
$Z_0=\frac{jb(R+j(m+x))}{R+j(m+x+b)}$，乘開
$Z_0R+jZ_0(m+x+b)=jbR+-b(m+x)$，實部虛部分開列式子
實部:
$Z_0R=-b(m+x)$
$x=-\frac{Z_0R+bm}{b}$
虛部:
$Z_0(m+x+b)=bR$
$x=\frac{bR-Z_0(m+b)}{Z_0}$
套一起，乘開整理
$-\frac{Z_0R+bm}{b}=\frac{bR-Z_0(m+b)}{Z_0}$
$(R-Z_0)b^2+Z_0^2R=0$
$b=\pm\sqrt{\frac{Z_0-R}{Z_0^2R}}$，如果$Z_0<R$，根號會有問題，(2)就沒辦法用了。
帶$b$回去找x即可。

### Single STUB(單殘段)
殘段分兩種，短路跟開路殘段。

偷用一下無損傳輸線的輸入阻抗公式$Zi=
Z_0\frac{(Z_L)+j(Z_0)tan(\beta l)}
{(Z_0)+j(Z_L)tan(\beta l)}$
短路時$Z_L=0$，帶入得到:
$Zi_{(short)}=j(Z_0)tan(\beta l)$，短路看進去跟電感一樣。

開路$Z_L=\infty$，帶進去:
$Zi_{(open)}\approx
Z_0\frac{(Z_L)}
{j(Z_L)tan(\beta l)}=\frac{Z_0}{jtan(\beta l)}=-jZ_0cot(\beta l)$，開路看起來像電容(就連實際電路都很像)。

可以看出兩者都是**純虛數**且是**tan的週期函數**，所以當$\beta l$跑到**第二、四象限後正負變號**，意指原本是電感性(正虛數)的短路殘段會變成電容性(負虛數)的，反之依然。

使用方式是與負載**並聯**，所以並聯短路殘段在史密斯圖上的旋轉方向與並聯電感相同(逆時針)，
反知開路殘段為順時針轉。

### 四分之一波長阻抗轉換器

**只能用在實數的負載上**

上面有提到$\frac{\lambda}{4}$的角度是$\theta=\frac{\pi}{2}$，在史密斯圖上會移動一個半圓形$(2\theta)$。
由一個實數移動到另一個實數上。

推導兩個實數的關係:
用$Zi=
Z_0\frac{(Z_L)+j(Z_0)tan(\beta l)}
{(Z_0)+j(Z_L)tan(\beta l)}$讓$\beta l$趨近$\frac{\pi}{2}$

$Zi=\lim\limits_{\beta l\to\frac{\pi}{2}}Z_0\frac{(Z_L)+j(Z_0)tan(\beta l)}
{(Z_0)+j(Z_L)tan(\beta l)}=Z_0\frac{jZ_0}{jZ_L}=\frac{Z_0^2}{Z_L}$

當傳輸線長度等於四分之一導波波長時$(l=\frac{\lambda_g}{4})$，由輸入端看入的阻抗剛好是負載的函數。
移項得到$Z_0=\sqrt{Z_iZ_L}$
使用時只需設定好負載跟要匹配到多少歐姆的系統，透過上式就能算出要用多少的特徵阻抗的來做匹配。

如果負載是有虛部的，則需要先**串連**一段傳輸線或並個殘斷什麼的，**把虛部給弄掉**。
因為無損線上的$\Gamma$只有相位變化，$|\Gamma e^{-2j\beta l}|=constant$，所以會看到長度增加時，輸入阻抗點在史密斯圖上繞著某定點順時鐘旋轉(toword generator)。
有趣的是史密斯圖上的旋轉會剛好以接上的傳輸線特徵阻抗為圓心，如果$z_0=2$就是繞著2那點轉。

在史密斯圖上畫出以C點為圓心的圓，$Z_i$會隨著長度$l$變化而在此圓上移動:

假設$\theta$是$\frac{\pi}{2}$，那麼$Z_i=\frac{Z_0^2}{Z_L}$
且史密斯圖中$Z_L$到$C$與$Z_i$到$C$的距離相等$|C-Z_L|=|Z_i-C|$，

也就是$\frac{C-Z_L}{C+Z_L}=\frac{Z_i-C}{C+Z_i}$
通分乘開整理:
$2C^2=2Z_iZ_L$
$C=\sqrt{Z_iZ_L}$，$Z_i=\frac{Z_0^2}{Z_L}$帶入得到:
$C=\sqrt{Z_0^2}=Z_0$
且此圓至少會通過實軸1次。

用傳輸線匹配的頻寬通常較窄，因為傳輸線的Q值太高了。
$Q=\frac{\beta}{2\alpha}=\frac{f_0}{\Delta f}\approx\frac{\omega L}{R}$

題外話:
阻抗**旋轉**的過程可以用算的:
假設$Z_L=R+jm$
讓$Z_i=Z_0$即可完成匹配
$Z_i=Z_0=Z_m\frac{(Z_L)+j(Z_m)tan(\beta l)}{(Z_m)+j(Z_L)tan(\beta l)}$帶入$Z_L:$
$Z_0=Z_m\frac{(R+jm)+j(Z_m)tan(\beta l)}{(Z_m)+j(R+jm)tan(\beta l)}$，通分乘開
$Z_0Z_m+(jZ_0R-Z_0m)tan(\beta l)=Z_mR+jZ_mm+jZ_m^2tan(\beta l)$
複數相等，分離實部、虛部得到兩條式子。
實部:
$Z_0Z_m-Z_0mtan(\beta l)=Z_mR$整理下:
$tan(\beta l)=\frac{Z_0Z_m-Z_mR}{Z_0m}$，帶進去虛部式子
虛部:
$Z_0Rtan(\beta l)=Z_mm+Z_m^2tan(\beta l)$

$Z_0R\frac{Z_0Z_m-Z_mR}{Z_0m}=Z_mm+Z_m^2\frac{Z_0Z_m-Z_mR}{Z_0m}$，同除$Z_m$，同乘$Z_0m$

$Z_0R(Z_0-R)=Z_0m^2+Z_m^2(Z_0-R)$
整理出:
$Z_m=\sqrt{\frac{Z_0R(Z_0-R)-Z_0m^2}{(Z_0-R)}}$
又$tan(\beta l)=\frac{Z_0Z_m-Z_mR}{Z_0m}$，取反$tan$

$\beta l=\frac{2\pi l}{\lambda}=arctan(\frac{Z_0Z_m-Z_mR}{Z_0m})$

$l=\frac{\lambda}{2\pi}arctan(\frac{Z_0Z_m-Z_mR}{Z_0m})$

這樣就能直接匹配囉，不過有些限制，從$Z_m$的分子而來:
$R(1-R)-m^2>0$:

$|m|<\sqrt{R(1-R)}$
就是$Z_L$在藍圈的範圍內才能這樣用。

### 二項式轉換器
假設:$\Gamma(\theta)=A(1+e^{-j2\theta})^N$
這東西二項式展開剛好長的跟小反射理論的展開一模一樣。
~~計算的公式不推了，推完就禿了，雖然說現在頭髮也不多就是。~~
它的大小:
$|\Gamma(\theta)|=A|(1+e^{-j2\theta})^N|=A|\frac{1}{e^{j\theta}}|^N|e^{j\theta}+e^{-j\theta}|^N=A|2cos(\theta)|^N$
會在$\theta=\frac{\pi}{2}$時為0。且在$\theta=\frac{\pi}{2}$，附近會隨著次方(N)增加而變得平坦。
示意圖:

屬於頻寬比較大的匹配方式。

應用流程:
先找比例頻寬，期望反射$\Gamma$被壓制在$|\Gamma_m|$以下的頻寬佔工作頻率的多少比例。
找出能符合期望的階數$N$。
$\frac{\Delta f}{f_0}=2-\frac{4\theta _m}{\pi}$
$\theta_m=cos^{-1}(0.5(\frac{\Gamma_m}{|A|})^{1/N})$
確定階數$N$之後套進去下面的遞迴式子找出每段的特徵阻抗。
$ln(Z_{n+1})=ln(Z_n)+C^N_n2^{-N} ln(\frac{Z_L}{Z_0})$
長度固定為四分之一波長，$n$由$0$~$(N-1)$。

### 量測實驗報告

可惜! 蝕刻機炸了，這次沒實際做東西出來量，拿舊的板子過一下VNA，在丟ADS跑而已。
~~甚至SNP檔都不是我們量的~~。

以下都是把100歐姆匹配到50歐上。

#### 四分之一波長
scale沒調好，實際量測的是$S_{66}$，看起來比預期大很多。

#### N=3的二項式匹配


這組數據是基於$|S_{11}|<0.05\approx-26dB的$頻寬有$BW=0.71*2.4GHz\approx1.7GHz$，
計算的與模擬結果有符合，但實際量測到的數據**目測**$S_{11}\leq-26dB$頻寬只有$(2.2GHz-2.6GHz)=0.4GHz$，才$16.6％，$模擬跟實際量測差距頗大。

題外話:
我有嘗試把這個二項式匹配電路的行為用python+david K cheng書上的公式算了下，程式碼如下:

import math
import plotly.graph_objects as go
import cmath 
import matplotlib.pyplot as plt

pi=math.pi
light_sp=299792458
## list for plot
re = []
im =[]
s11=[]
fr=[]
## besic parameters
cneter_freq=2.4*10**9
Z0=50
ZL=100
Z01=91.7
Z02=70.7
Z03=54.5
Kr=4.4
K=8.85*Kr*10**-12
losstan=0.02
lenth=0.25*light_sp/(cneter_freq*math.sqrt(Kr))

for freq in range(0,18000):
    ## sweep freq unit in MHz
    freq=freq*10**6
    omega=2*pi*freq
    ## propagation constant
    gamma_im=(omega*math.sqrt(Kr)*cmath.sqrt(complex(1,-1*(losstan))))/(light_sp)
    gamma=complex(0,gamma_im)
    ## lossly input impedance formula:
    Zi1=Z01*((ZL+Z01*cmath.tanh(gamma*lenth))/(Z01+ZL*cmath.tanh(gamma*lenth)))
    Zi2=Z02*((Zi1+Z02*cmath.tanh(gamma*lenth))/(Z02+Zi1*cmath.tanh(gamma*lenth)))
    Zi3=Z03*((Zi2+Z03*cmath.tanh(gamma*lenth))/(Z03+Zi2*cmath.tanh(gamma*lenth)))
    ## calculate reflect
    reflect=20*math.log10(abs((Zi3-50)/(Zi3+50)))
    ## save data for plot
    s11.append(reflect)
    fr.append(freq/10**9)
    ## normalize
    re.append(Zi3.real/Z0)
    im.append(Zi3.imag/Z0)

## set three plot
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(3, 1, figsize=(6, 8))
#draw S11 plot
ax1.plot(fr,s11,label='s11')
ax1.set_title('S11')    

#draw Z parameter plot
ax2.plot(fr,re,label='re')
ax2.set_title('Zi_Re')  
ax3.plot(fr,im,label='im')
ax3.set_title('Zi_Im')
fig.suptitle('Binomial matching')
plt.show()
#draw smith chart
smith = go.Figure(go.Scattersmith(imag=im, real=re)) 
smith.show()

畫出來的圖表:
能發現在輸入阻抗實部有些地方(黑線處)是極大值，而輸入阻抗的虛部剛好是$0$，應該是發生諧振了，
我猜測這是實際量測發生兩次低點的原因。
實際情形真的有夠複雜，我根本不知道losstan對頻率函數是什麼、FR4的$RLGC$參數、金屬板的粗糙度、介電質的心情等，都會影響到實際量到的東西。~~可憐，只能當條參人了~~

###### tags: `微波工程`