# Understanding RF Synthesizer(PLL)

## 前言
在無線通訊系統中，不論是作為發射端的載波，或接收端的解調，最重要的就是要有一個乾淨"訊號"，狹義上來說，就是單一頻點的弦波。
而Synthesizer(頻率合成器)就是為達成此目的而設計的。

常因其名字而有一些錯誤理解，「認為頻率合成器是將所收到的參考訊號源$(F_{ref})$做$R$次倍頻後得到輸出$F_{out}$的高頻訊號」，實際並非如此。但Datasheet中確實會寫著$F_{out}=R\times F_{ref}$
## Block Diagram
以下為一簡易版本的頻率合成器內部方塊圖

一個頻率合成器分別由$PFD(鑒頻鑒相器)、Charge\ Pump(電荷泵)、Loop\ Filter(迴路濾波器)、VCO(壓控震盪器)$$與R-Divider(除頻器)$構成。
對於此架構還有另一個常見的名稱"$Phase\ Lock\ Loop(鎖相迴路)$"。

基本的動作流程是當$VCO$起振候，將該震盪訊號經過$R-divider$降頻至與$F_{ref}$**同頻**後，透過$PFD$進行相位比對並根據相位落差產生控制的電壓訊號$(V\ tune)$微調$VCO$的震盪頻率。
最終系統會趨於穩定，$F_{out}=R\times F_{ref}$且同相位，此時稱此PLL成功鎖定(Locked)了。

以下分別介紹各組件之功能。

## PFD(phase frequency detector)

鑒頻鑒相器，有數種實作方式，例如XOR-Gate、MIXER等，本文取這兩種常見之簡易形式說明之:
### 類比方式

使用一相乘電路$Mixer$將$A、B$兩訊號相乘，其中AB兩者不同頻率，相位也不同。
令$A=Acos(\omega_1t),B=Bcos(\omega_2t+\phi)$，$\phi$為A、B兩者相位差。
那麼輸出$O$透過和角公式可得:
$O=Acos(\omega_1t)\times Bcos(\omega_2t+\phi)=ABcos(\omega_1t)(cos(\omega_2t)cos(\phi)-sin(\omega_2t)sin(\phi))$
$O=AB(cos(\phi)cos(\omega_1t)cos(\omega_2t)-sin(\phi)cos(\omega_1t)sin(\omega_2t))$做兩次積化和差。
$O=\frac{AB}{2}(cos(\phi)(cos(\omega_1t+\omega_2t)+cos(\omega_1t-\omega_2t))-sin(\phi)(sin(\omega_1t+\omega_2t)-sin(\omega_1t-\omega_2t)))$
透過觀察該式子，$O$中所有項皆為弦波，它的直流值(時間平均)為$0$。
若此時調整輸入，使得$\omega_1=\omega_2$即同頻，那麼時間平均$\overline{O}=\frac{AB}{2}cos(\phi)$。

不難看出當同頻時，才會有輸出(否則為0)，輸出的直流準位正比於$cos\phi$，也就是要"同頻"且同相位時，$\overline{O}$有最大值$\frac{AB}{2}$。

### 數位方式

## Charge pump
## loop filter
## VCO(voltage controlled oscillator )
## R-Divider
## Mixer
功能:將兩訊號相乘
$cos(A)cos(B)=\frac{1}{2}\{cos(A+B)+cos(A-B)\}=$
$\{cosAcosB\cancel{-sinAsinB\}}+\{cosAcosB+\cancel{sinAsinB}\}$
即等號左側部分，由積化和差公式可知，相乘後會生成兩頻率相加與相減項，且峰值變為一半。
欲實現兩訊號相乘有兩種辦法[[Chapter 3 Fundermental of Mixer](https://ir.lib.nycu.edu.tw/bitstream/11536/52101/5/153605.pdf)]:
法一為使用非線性元件之已知電流與電壓關係來達成相乘，例如Diode之電壓與電流關係為:$I_D=I_s(e^{\frac{V_d}{\eta V_t}}-1)$

可透過OPA組合出對數電路後，在輸入加法器即可。
上圖中該Vo與Vi關係為$V_o\approx-V_t\ln(\frac{v_i}{RI_s})$
利用兩對數相加為兩真數相乘，即可達乘成算$\ln A+\ln B=\ln AB$
實務上沒看過有人這樣做，大多都是使用LO的頻率去切換RF的開關:
例如[Diode ring modulator](https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_modulation)

若載波(Lo)是有直流成分的方波其傅立葉展開只具有奇次項諧波:
$V_{Lo}=\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi}\{sin(\omega_{Lo}t)+\frac{1}{3}sin(3\omega_{Lo}t)...\}$
當輸出為兩者相乘時$V_o=cos(\omega_{RF}t)V_{Lo}=\frac{cos(\omega_{RF}t)}{2}+\frac{2}{\pi}(cos(\omega_{RF}t)sin(\omega_{Lo}t)+\frac{1}{3}cos(\omega_{RF}t)sin(3\omega_{Lo}t)...)$
值得注意的是因為具有直流成分，相乘後RF的訊號會跑到輸出端，但LO的直通成分會較少。

## 參考資料
[Understanding the Operation of the Frequency Synthesizer in Maxim’s RF Transceivers](https://www.analog.com/en/resources/app-notes/understanding-the-operation-of--the-frequency-synthesizer-in-maxims-rf-transceivers.html)
[How To Design RF Circuits - Synthesisers,Steve Williamson](https://www.prfi.com/wp-content/uploads/2016/01/RF_synthesiser_design.pdf)
[Chapter 3 Fundermental of Mixer](https://ir.lib.nycu.edu.tw/bitstream/11536/52101/5/153605.pdf)
[Chapter 13: Phase-Locked Loops](https://cc.ee.ntu.edu.tw/~ecl/Courses/105AIC/lock/Analog_Chapter_13_PLL.pdf)
[微波系統導論實驗三 壓控振盪器與混波器量測](https://www.ntuemc.tw/upload/file/20150331122203648d4.pdf)