**Proyecto para la materia de Métodos Númericos.**
Alumno: German Puga Castillo.
Profesor: Joaquín Peña Acevedo.
Titulo del trabajo:

# **Una vez más, Gauss: Reglas de Cuadratura**

## A. ¿En donde estamos?

**Definición** Una regla de cuadratura de orden $n$ serán dos colecciones $x_0, \cdots, x_{n-1}$ (llamados nodos) y $w_0,\cdots, w_{n-1}$ (llamados pesos)

**Definición** Sea $f$ una función definida en $(a,b)$. Decimos que la integral de $f$ en una regla de cuadratura es:
$$\sum_{j=0}^{n-1}w_jf(x_j)$$
donde $x_j \in (a,b)$ para $j=0,1,\cdots,n-1$

Por supuesto que para reglas de cuadratura sensataz se tiene que

$$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{j=0}^{n-1}w_jf(x_j) $$

**Ejemplos**
1. *Cuadratura Gaussiana (clásica):*
$$\int_{-1}^1f(x)dx \approx 1/3f(-1) + 4/3f(0) + 1/3f(1)$$
2. La siguiente cuadratura ya toma en cuenta el teorema de cuadratura Gaussiana que será presentado más tarde
$$\int_{-1}^{1}f(x)dx \approx 5/9f(-\sqrt{3/5}) + 8/9f(0) + 1/9f(\sqrt{3/5})$$

## B. Objetivos
* Desarrollar el método númerico que nos da la regla de cuadratura con peso $Wx =1$.
* Desarrollar el método númerico que nos da la regla de cuadratura cuyos polinomios ortogonales asociados son los de Chebyshev.
* Desarrollar el método númerico que nos da la regla de cuadratura para un peso no clásico. Cuyo caso no sea estudiado en la literatura.

### B.1 Metas

* Contrastar los distintos tipos de reglas de cuadratura: Legendre, Chebyshev y trapecio.
* Encontrar buenos ejemplos de integrales.

## C. Cuadraturas con pesos clásicos.

**Notación** Se dice que tenemos una formúla de cuadratura de $n$ ${x}_n$ respeto a un conjuntos de $2n$ funciones $\phi_0(x), \cdots, \phi_{2*n-1}$ sobre el intervalo $\Gama$ y un peso $w: \Gamma \rightarrow \mathbb{R}^+ si la formúla integra de manera exacta cada una de las $2n$ integrales

$$\int_{\Gamma}\phi_j(x)w(x)dx = \sum_{k=0}^{n-1}\phi(x_j), ~~ j=0, \cdots, 2n-1$$

También las funciones $\phi_0, \cdots, \phi_{2n-1}$ son ortogonales con respecto a $w$ si
$$\int_{\Gamma}\phi_i(x)\phi_j(x)w(x)dx = \delta_{ij}$$

** Proposición 1** Sea $w$ un peso y ${\phi}_{2n-1}$ de polinomios ortogonales con respecto a $w$, con $\phi_j$ es de grado $j$. Entonces la formúla de cuadratura Gaussina para las funciones ${\phi}_j$ sobre $\Gamma$ con respecto a $w$, integra exactamente cualquier polinomio de grado $2n-1$ o menos. Los nodos de cuadratura son las $n$ raíces distintas del polinomio $\phi_n$

## C.1 Peso $W(x)=1$: Polinomios de Legendre.

Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial
$$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}P_n(x)]+n(n+1)P_n(x)=0$$

Para los polinomios de Legendre, $W(x)=1$ y el intervalo es $[-1,1]$.

Y tenemos

$$\int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx=\frac{2\delta_{nm}}{2n+1}$$

Estos polinomios cumplen con la regla recursiva de tres términos

$$(j+1)P_{j+1}(x)=(2j+1)xP_j(x)-jP_{j-1}(x)$$

## C.2 Peso $W(x)=(1-x^2)^{-2}$: Polinomios de Chebyshev.

**Definición** El polinomio de Chebyshev de orden $n$ se define como
$$T_n(x)=cos[ncos^{-1}(x)]~~x \in [-1,1]~~, n=0,1,2, \dots$$

Estos polinomios satisfacen
$$T_{n+1}(x)=2x*T_n(x)-T_{n-1}(x)$$
con $T_0(x)=1, T_1(x)=x$.
Se tiene que
$$\int_{-1}^{1}T_r(x)T_s(x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=N_r\delta_{rs}$$
con $N_0=\pi$ y $N_r=\pi/2$ para r>0.

Estos polinomios han sido ampliamente estudiados. No son mónicos, al hacerlos mónicos se pueden encontrar formúlas explicítas para nodos y pesos:
$$x_j=cos\Big(\frac{\pi(j+0.5)}{n}\Big)~~ w_j=\pi/n ~~ j=0,\cdots,n-1$$

## D. Evaluando integrales con un método númerico.

## E. Un peso no trivial. $W(x)=e^{-x^2}$
Supongamos que $\{\phi_j\}$ son polinomios ortogonales, donde $\phi_k$ es un polinomio mónico de grado $k$. Entonces para $k \geq 1$ se cumple
$$\phi_{k+1}(x)=(x-a_k)\phi_k(x)-b_k\phi_{k-1}(x)$$
donde

ecuaciones E(1)
$$a_k=\frac{<x\phi_k | \phi_k>}{<\phi_k>|\phi_k}$$
$$b_k=\frac{<\phi_k|x\phi_{k-1}>}{<\phi_{k-1}|\phi_{k-1}>}$$
Además $\phi_1(x)=(x-a_0)\phi_0(x)=x-a_0$

Para los polinomios ortonormales $\overline{\phi_k}=\frac{\phi_k}{\sqrt{<\phi_k|\phi_k>}}$

Al evaluar estas relaciones en la raíz $x_j$ de $\phi_n(x)$ se tiene que


**Teorema 1* Los pesos $w_i$ y los nodos $x_i$ pueden ser obtenidos de lamatriz espectral simétrica.

donde $a_k$ y $b_k$ son los coeficientes que aparecen en la formúla de recurrencia de tres términos. Si $\textbf{J}_n=\textbf{VDV}^T$, con **D**=diag$(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)$ tiene sus eigenvalores de la matriz **V**=$[v_{ij}]$ tiene sus eigenvectores, entonces $x_i=\lambda_i$ y $w_i=v_{i1}^2$.

Este método no funciona muy bien pues se pierde exactitud para $n=12$ [1]. Pero no todo estpa pérdido este peso funciona bien pues tenemos una relación de tripleta y para estos sí es posible aplicar este método, pue slos $a_j$ y $b_j$ son conocidos.

## F. ¿Como nos fue y qué sigue?

### F.1 Conclusiones.

1. Es posible hacer una regla de cuadratura exacta para polinomios de grado menor a $2n$ por unn peso $W(x)$ utilizando $n$ evaluaciones de la función.

2. Conviene usar las simetrias de los polinomios para encontrar solamente la mitad de las raices y la mitad de los nodos.

3. No es que la cuadratura de Chebyshev y/o de Legendre sean mejores que el método del trapecio. Tampoco es que Chebyshev sea mejor o peor que Legendre. Vaya, no estamos mejorando los algoritmos solamente estamos haciendo métodos especificos para funciones especificas.

4.
* Trapecio. Funciona bien para operadores que se comportan lineal y/o periodica.
* Chebyshev. Funciona bien para operadores que tienen discontinuidades muy especificas, se le pueden hacer modificaciones mediante el cambio de variable.
* Legendre. Funciona para operadores que son polinomios.

5. Si conoces las relaciones de recurrencia es buena idea usar la matriz de Jacobi.

### F.2 Logros

6. No se logró (por falta de tiempo) hacer la cuadratura para el peso no trivial.

7. No se hizo un ejemplo para el que la cuadratura de Legendre o de Chebyshev no fuera exacta pero perteneciera a la misma familia.

8. Se logró generar coeficientes y nodos para $n>5$ para pesos clásicos. Lo cual es mejor que lo que se ofrece en los libros.

### F.3 Para seguir pensando

9. En [1] se ofrece --entre lineas un método general para los pesos. Se usa una estructura *Stiel* que implementa el procedimiento de Stiltjes. Sus miembros generan los coeficientes $a_j$ y $b_j$ de las relaciones de recurrencia y manda a llamar *gaucof* para obtener los nodos y pesos. De manera interna la turina llama a la función *quad* para hacer las integrales E(1). La rutina usa la regla DE.