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title: '製程指標: Cpk 與 Cp'
tags: [統計理論, 品管]

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# 製程指標: Cpk 與 Cp

## <font color='#9F35FF' size=6> **一、 關於$C_{pk}$ :** </font>
在品質管理（Quality Control, QC）中，**$C_{pk}$** 是一個常用的**製程能力指標（Process Capability Index）**，用來衡量製程是否穩定且能符合產品規格的要求。具體而言，它告訴我們製程的輸出（如產品尺寸或重量）離目標規格的中心值有多近，並且是否在規格範圍內。

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### **$C_{pk}$ 的公式**

$$
C_{pk} = \min \left( \frac{USL - \mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma} \right) 
$$

其中：  
- **$USL$**：上規格限（Upper Specification Limit）  
- **$LSL$**：下規格限（Lower Specification Limit）  
- **$\mu$**：製程的平均值  
- **$\sigma$**：製程的標準差  

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### **$C_{pk}$ 的解釋**
- **$C_{pk} > 1$**：製程能力良好，產品輸出大多在規格範圍內。
- **$C_{pk} = 1$**：製程剛好符合規格，但沒有額外的安全裕度，容易出現不良品。
- **$C_{pk} < 1$**：製程能力不足，無法滿足規格要求，可能需要進行改善。

> 註 1.
> **注意!!! 覺得我說錯的人先別走開!!! 聽我解釋!!!**
> 若對 SPC 有些了解或是在電子製造業待過的人，看到這邊一定會覺得很奇怪。
> 不是說要 $C_{pk} > 1.33$ 嗎? 或確切來說大家應該更常看到的是下面這個表:
> 
| 等級 | 範圍                 | 解釋 |
|------|----------------------|------------------------------------------------------|
| A    | $1.33 \leq C_{pk} \text{ , }  C_{p}$ | 良好 |
| B    | $1.00 \leq C_{pk} \text{ , }  C_{p} < 1.33$ | 尚夠|
| C    | $0.83 \leq C_{pk} \text{ , }  C_{p} < 1.00$ | 能力不足 |
| F    | $\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } C_{pk} \text{ , }  C_{p} < 0.83$      | 情形嚴重，停止生產 !   |
> 其實這是因為，隨著工業的的進步，要製造的儀器愈來愈精密，亦或資方對自家產品的標準愈來愈高，製程變得愈來愈嚴格了 !  但 $C_{p}$ 由 Juran 於 1974 年提出來的時候，確實是以 1 做劃分的。 這概念有點像從 六倍標準差 到現在有 八倍標準差 一樣，就是要求更嚴格了。

> 註 2.
> **注意!!! 還覺得我說錯的人先別走開!!! 在聽我說幾句!!!**
> 有些人會說，公式就錯了阿!!! 正確的公式是:
> $$C_{k} = (M - \bar{X} )/ \frac{T}{2}$$
> $$C_{p} = \frac{T}{6σ}$$ 
> $$C_{pk} = (1-C_{k}) \times C_{p}$$
> 其中 $M$:規格中心，$\bar{X}$:數據平均值，$\sigma$:數據標準差， $T = USL - LSL$:規格寬度。
> 沒錯! 兩個都對! 因為大樣本時，這兩個根本是一樣的，有數學背景的可以自己推推看，再跟我對答案喔! (我這邊就不提了! 話太多了!)

> 註 3.
> **為什麼公式取「最小值」？**
因為 $C_{pk}$ 要反映製程是否「對準目標值」，所以它考慮了平均值與上下限的距離。若製程平均值偏離中心，即使一側距離較大，另一側可能已經超出規格，因此取較小的值來代表製程的最差狀況，。

> 註 4.
> **最後說說，為什麼這些指標的標準那麼多套了!**
> 簡單來說就是人多嘴雜的結果..... (文長警告)
> 
> $C_{p}$ 這個製程能力指標最早是由 Juran 於 1974 年提出的，
> 但後來被批評 $C_{p}$ 未能考慮製程平均值是否偏離規格中心，
> 為了改善 $C_{p}$ 指標的缺點，Kane 於 1986 年提出了製程能力指標 $C_{pk}$，
> 然後又被批評 $C_{p}$ 和 $C_{pk}$ 兩種指標都沒有考量到製程平均數是否偏離製程目標值 $T$，
> 於是 Chan et al. 於 1988 年，依據田口損失函數的概念，提出了製程能力指標 $C_{pm}$，
> 然後再被批評 $C_{pm}$ 只適合用於較對稱的的管制範圍，對於非對稱的 (有些管制圖的管制下界會被卡在 0) ，效果很差。
> 所以 Pearn et al. 於 1992 年，結合了 $C_{pk}$ 和 $C_{pm}$，然後依據規格上下界與目標值的非對稱性而提出製程能力指標 $C_{pmk}$。
> 然後再再被批評 $C_{pmk}$，同時考慮雙邊不對稱性的方法，最後常常僅關注下界，這導致業者會故意把製程平均 $\bar{x}$ 故意調整到比管制中心 $M$ 之上，並非製程管制的真諦。
> 於是 Montgomery (1985年) 和 Kane (1986年) 提出了單邊規格(Unilateral specification)的製程能力指標 $C_{L}$、$C_{pl}$、$C_{pu}$，
> 然後再再再被批評.............. (再說下去沒完沒了，不說了)
> 
> 這些學者再改良別人的指標時，都多少會對標準動一些手腳或自以為是的修正，所以分級標準甚至不只以上這兩套，這兩套只是最常見的罷了(做螺絲的可能會用 1.11)。
> 而我其實覺得 1.33 是最適合用於精密儀器的，因為它不只是常見的標準中最嚴格的，它還有一定的理論基礎!

> 註 5.
> **"$1.33$" 最好 !?  是信仰 !? 還是真的有理論基礎 !?**
> 其實我不太會用 "最好" 去形容它? 我甚至相信每個我們所使用的標準，被發明出來都有它的理由。 但 "$1.33$" 有理論基礎是真的。 怎麼說呢?
> 這是因為 $C_{pk}$ 可以換算成不良率（換算表可以參考 [Cpk、Sigma與不良率PPM換算對照表](https://www.researchmfg.com/2016/02/cpk_ppm_convert/)），請注意看我們說的第一種算法 (用統計攻式，而非 $C_{p}$, $C_{k}$ 結合的那種)。 
> 這個算法有除一個 $3σ$，所以如果將 1.33 的 C_{pk} 乘以3，理論上就會變成 $3.99σ （≈4.0σ）$，也就是說當 $C_{pk} = 1.33$ 時，即表示品質已經達到了 $4σ$ 的能力，而這時候的不良率只要查常態分配機率表，就可得：
>* $P(Z>3.99)=0.000066074=0.006607%=66.07ppm$，
>* $P(Z>4.00)=0.000063342=0.006334%=63.34ppm$，
>
> 這段直接去自 [工作狂人的這篇文章](https://www.researchmfg.com/2016/03/cpk-1-33/#google_vignette)，順帶一提，我覺得他這篇寫超好的，大家可以去看一看!!

說了那麼多，我們繼續吧 !!

## <font color='#9F35FF' size=6> **二、 關於 $C_{p}$ :** </font>
在品質管理中，$C_p$ 是另一個重要的製程能力指標（Process Capability Index），用來評估製程的潛在能力，特別是在統計過程控制中。$C_p$ 衡量製程的變異相對於規格限的寬度，提供了一個關於製程穩定性和一致性的指標。

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### **$C_p$的公式**

$$
C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}
$$

其中：
- **$USL$**：上規格限（Upper Specification Limit）
- **$LSL$**：下規格限（Lower Specification Limit）
- **$\sigma$**：製程的標準差

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### **$C_p$ 的解釋**
- **$C_p > 1$**：表示製程有足夠的能力滿足規格要求，產品大多在規格範圍內。
- **$C_p = 1$**：表示製程能力正好滿足規格要求，但沒有額外的安全裕度，容易產生不合格品。
- **$C_p < 1$**：表示製程能力不足，無法滿足規格要求，可能需要進行改善。



## <font color='#9F35FF' size=6> 三、 比較 : </font>

### **$C_p$ 與 $C_{pk}$ 的差異**
- **$C_p$**：不考慮製程平均值是否偏移，只考慮製程總的分佈寬度與規格範圍的比值。
- **$C_{pk}$**：進一步考量製程平均值 $\mu$ 是否居中，因此 $C_{pk} \leq C_p$。
- 在實務中，$C_p$ 和 $C_{pk}$ 的關注點取決於具體的情境和目的。以下是一些指導原則，可以幫助確定何時應該關注這兩個指標。

$\Rightarrow$ **何時關注 $C_p$**
>1. **評估製程潛在能力**：
   當你想要評估製程的理論能力，而不考慮目前的製程平均值是否偏移。$C_p$ 提供了一個關於製程變異性相對於規格限的直觀指標。
>
>2. **初步分析階段**：
   在製程設計或改善的初期，使用 $C_p$ 可以幫助識別潛在的製程能力，並確定製程設計是否足夠好。
>
>3. **比較不同製程**：
   當需要比較不同製程或機器的能力時，$C_p$ 是一個有用的指標，因為它專注於變異性。
>
>4. **變異來源分析**：
   在分析變異來源時，$C_p$ 可以幫助識別製程的可控變異性，進而指導改善措施。

$\Rightarrow$ **何時關注 $C_{pk}$**
>1. **評估實際製程性能**：
   當需要了解實際的製程表現時，$C_{pk}$ 更為重要，因為它考慮了製程平均值是否偏離目標值。
>
>2. **確保產品質量**：
   如果關心產品質量和合格率，$C_{pk}$ 是關鍵指標。它告訴你製程的平均值與規格的相對位置，幫助確保產品在規格範圍內。
>
>3. **持續改進過程**：
   在實施持續改進時，$C_{pk}$ 可以用來監測改進的效果，特別是在調整製程設定或標準作業程序時。
>
>4. **符合質量標準**：
   當必須滿足某些質量標準或合規要求時，$C_{pk}$ 是更可靠的指標，因為它考慮到規格邊界的影響。



## <font color='#9F35FF' size=6> **四、 總結 :** </font>
$C_p$ 與 $C_{pk}$ 都是評估製程能力的關鍵指標之一，用於幫助工程師了解製程的穩定性與一致性，並提供改善製程的依據，確保產品符合品質標準。

- **$C_p$** 是用來評估製程的潛在能力，通常在初步分析或比較階段使用。
- **$C_{pk}$** 則是用來評估實際製程性能，特別是在確保產品質量和滿足規格要求時更為重要。

在實務中，這兩個指標往往是互補的。使用 $C_p$ 和 $C_{pk}$ 的組合，可以更全面地了解製程能力與性能，並進行有效的改善。

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### **應用範例**
假設一條生產線製造某種零件，要求尺寸在 $20 \pm 0.5$ 公厘內，即 $USL = 20.5$ 和 $LSL = 19.5$。若這條生產線的平均尺寸 $\mu = 20.2$ 且標準差 $\sigma = 0.1$：

$$
C_{pk} = \min \left( \frac{20.5 - 20.2}{3 \times 0.1}, \frac{20.2 - 19.5}{3 \times 0.1} \right)
      = \min \left( 1, 2.33 \right) = 1
$$

這表示此製程剛好達到規格要求，但需要進一步優化以確保未來製程能穩定地維持在規格內。

在實務中，$C_p$ 和 $C_{pk}$ 的關注點取決於具體的情境和目的。以下是一些指導原則，可以幫助確定何時應該關注這兩個指標。