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title: 静電気

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# 静電気
## 目的
ここでは，時間変化のないマクスウェル方程式がクーロンの法則及び重ね合わせの原理と等価であることを示す．(余裕があったらポアソン方程式まで)

## 目次
1. **基礎知識**のまとめ
2. **マクスウェル方程式**について説明(ざっくりと)
3. **重ね合わせの原理**を説明
4. **マクスウェル方程式からクーロンの法則**を導く
5. **クーロンの法則からマクスウェル方程式**を導く

（長くなるから記事を分割したほうがいいかも）

## 基礎知識(ベクトル解析)
## Maxwell方程式(時間的変化のない場合)
**積分形：**
\begin{eqnarray}
\int_{S} \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n} dS &=& \frac{1}{\epsilon_0} \int_{V} \rho dV \\
\oint_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} &=& 0 \\
\int_{S}\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{n} dS &=&0 \\
c^2\oint_{C} \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{r} &=& \frac{1}{\epsilon}\int{S} \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{n} dS
\end{eqnarray}

**微分形**
\begin{eqnarray}
 \nabla \cdot \boldsymbol{E} &=& \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
 \nabla \times \boldsymbol{E} &=& \boldsymbol{0} \\
 \nabla \cdot \boldsymbol{B} &=& 0 \\
c^2 \nabla \times \boldsymbol{B} &=& \frac{\boldsymbol{j}}{\epsilon_0} \\
\end{eqnarray}
## 重ね合わせの原理
## クーロンの法則からMaxwell方程式を導く
時間変化がない場合のMaxwell方程式は式？で与えられ，静電気と静磁気に分けられる．ここでは，静電気に関する内容を扱う．Maxwell方程式のうち，静電気に関する法則(ガウスの法則，アンペールの法則)を以下に示す[^1].
 
**積分形：**
\begin{eqnarray}
\int_{S} \boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n} dS &=& \frac{1}{\epsilon_0} \int_{V} \rho dV \\
\oint_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} &=& 0 
\end{eqnarray}

**微分形**
\begin{eqnarray}
 \nabla \cdot \boldsymbol{E} &=& \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
 \nabla \times \boldsymbol{E} &=& \boldsymbol{0} \\
\end{eqnarray}
式？より静電気とは，いたるところでローテションがゼロ("渦なし")の電場に関する理論であると言える．

### クーロン電場の$ローテーション$
？章では，座標原点に静止している点電荷$q$の周りの電場$\boldsymbol{E}$は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
\end{eqnarray}
で与えられることを導いた．ここでは，クーロン電場$\boldsymbol{E}$のローテーションがゼロであることを示す．すなわち，**クーロン電場から式？を導く**．[](時間変化がない場合のアンペールの法則を導出する．)[](式？は任意の閉曲線$C$周りの周回積分がゼロであることを意味するから，)

**まず，クーロン電場$\boldsymbol{E}$の線積分が途中経路に依存しないことを示す**．任意の点$a$と点$b$を考え，点$a$から点$b$への経路$\Gamma_{ab}$に沿ってクーロン電場$E$の線積分
\begin{eqnarray}
\int_{\Gamma_{ab}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{\Gamma_{ab}} \frac{q}{4\pi \epsilon_0 }\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}d\boldsymbol{r}
\end{eqnarray}
を考える．ただし，
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r} &=&  \left(x, y,z\right)=\left(r\sin \theta \cos\phi\ , \ r\sin\theta \sin \phi , \ r\cos \theta \right) \\
d\boldsymbol{r} &=& \left(dx, dy,dz\right)
\end{eqnarray}
とする[^2].式？の線積分を計算するために，任意のベクトル$\boldsymbol{r}$と微少変位ベクトル$d\boldsymbol{r}$の内積をとれば
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r} &=& r\sin \theta \cos \phi dx + r \sin \theta \sin \theta \sin \phi dy + r\cos dz
\end{eqnarray}
となる．一方で，
\begin{eqnarray}
r^2 = x^2 + y^2 + z^2
\end{eqnarray}
が成り立ち，その全微分は
\begin{eqnarray}
2r dr &=& 2x dx + 2y dy+ 2z dz \\
\iff r dr &=& xdx + ydy + zdz
\end{eqnarray}
である．従って
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r} = r dr
\end{eqnarray}
となる．これを用いれば式？は次のように計算できる．

\begin{eqnarray}
\int_{\Gamma_{ab}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} &=& \int_{\Gamma_{ab}} \frac{q}{4\pi \epsilon_0 }\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}d\boldsymbol{r} \\
&=&\int_{r_a}^{r_b} \frac{q}{4\pi \epsilon_0 }\frac{1}{r^2}dr\\
&=& \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)
\end{eqnarray}
ただし，$r_a$と$r_b$は点$a$と点$b$の点電荷からの距離である．以上より，クーロン電場$\boldsymbol{E}$の線積分の値は途中経路に依存しないことが示された．

　　**次に，クーロン電場$\boldsymbol{E}$の線積分の値が積分の始点と終点の位置のみによって決定されることを用いて，式？を導出する．**
　図？に示すように任意の閉曲線$C$周りの周回積分
\begin{eqnarray}
\oint_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} 
\end{eqnarray}
について考える．ここで，閉曲線$C$を任意の2点$a$と$b$に対して２つの経路$\Gamma_{ab}$と$\Gamma_{ba}$に分割すると
\begin{eqnarray}
\oint_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} =\oint_{\Gamma_{ab}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} + \oint_{\Gamma_{ba}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}
\end{eqnarray}
と書ける．それぞれの経路に対する線積分の値は
\begin{eqnarray}
\oint_{\Gamma_{ab}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} &=&\int_{r_a}^{r_b}\frac{q}{4\pi \epsilon_0 }\frac{1}{r^2}dr\\
&=&\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right)  \\
\oint_{\Gamma_{ba}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} &=&\int_{r_b}^{r_a}\frac{q}{4\pi \epsilon_0 }\frac{1}{r^2}dr\\
&=&\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right)
\end{eqnarray}
と計算できるから次式が成り立つ．
\begin{eqnarray}
\oint_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} &=&\oint_{\Gamma_{ab}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} + \oint_{\Gamma_{ba}} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r}=0
\end{eqnarray}
以上より，任意の閉曲線$C$に対して
 \begin{eqnarray}
\oint_{C} \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{r} &=&=0
\end{eqnarray}
が成り立つことが導かれた．この式はマクスウェル方程式の式?に他ならない．

### クーロン電場の発散
？章では，座標原点に静止している点電荷$q$の周りの電場$\boldsymbol{E}$は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
\end{eqnarray}
で与えられることを導いた．ここでは，**クーロン電場で式？(Gauss)が成り立つことを確かめる**．

ここからは，任意の閉曲面が内部に点電荷を含んでいるか否かで場合分けを行う．

まず，任意の**閉曲面が点電荷を含んでいる場合**について考える(図？)．式？(Gauss)の左辺を計算することが目的であるので，肝となるのは面積積分である．では，どのようにして任意の閉曲面に対して面積積分を実行できるであろうか．答えは，変数変換である．具体的には，任意の閉曲面に対する積分を球に対する積分に変換することで積分を実行できる(なぜ球なのかは後で述べる)．それでは，具体的なやり方を見ていく．

##### 用語の定義
座標：点電荷$q$を原点とした座標[^3]
位置ベクトル：$\boldsymbol{r}$，$|\boldsymbol{r}|=r$
クーロン電場：$\boldsymbol{E}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$
任意の閉曲面：$S^{\prime}$，
$S^{\prime}$の微小面積：$dS^{\prime}$，
$S^{\prime}$に垂直で大きさが1のベクトル ：$\boldsymbol{n}^{\prime}$，
球面：$S$
$S$の微小面積：$dS$，
$S$に垂直で大きさが1のベクトル ：$\boldsymbol{n}$，
$\boldsymbol{n}$と$\boldsymbol{n}^{\prime}$がなす角：$\theta$
座標原点から見た微小立体角：$d\Omega$
##### 変数同士の関係(図から読み取れる)
\begin{eqnarray}
&\boldsymbol{n}&^{\prime} \cdot \boldsymbol{n} = \cos\theta \\
&\boldsymbol{r}& \cdot \boldsymbol{n} = |\boldsymbol{r}|\cos 0 = r \\
&\boldsymbol{r}& \cdot \boldsymbol{n}^{\prime} = |\boldsymbol{r}|\cos\theta  = r\cos\theta\\
&\boldsymbol{E}&\cdot \boldsymbol{n}=|\boldsymbol{E}|\\
&\boldsymbol{E}&\cdot \boldsymbol{r}=r|\boldsymbol{E}|\\
&\boldsymbol{E}&\cdot \boldsymbol{n}^{\prime} = \left(\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r^3}\right)\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}^{\prime} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta = |\boldsymbol{E}|\cos\theta \\
&dS&=\left(\boldsymbol{n}^{\prime}dS^{\prime}\right)\cdot\boldsymbol{n} = dS^{\prime}\left(\boldsymbol{n}^{\prime}\cdot\boldsymbol{n}\right)=dS^{\prime}\cos\theta \\
&dS& = r^2 d\Omega
\end{eqnarray}

##### 発散
クーロン電場の発散は上の変数変換を用いて次のように計算できる．
\begin{eqnarray}
\int_{S'}\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{n'}dS' &=& \int_{S'}|\boldsymbol{E}|\cos\theta dS' \\
&=& \int_{S}|\boldsymbol{E}|dS \\
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}\int_{S}dS \\
&=&\frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2} \times 4\pi r^2 \\
&=& \frac{q}{\epsilon_0}
\end{eqnarray}


[^1]:積分形と微分形のマクスウェル方程式は等価であることに注意されたい．
[^2]:三次元極座標
[^3]:三次元極座標でも三次元直交座標でもなんでも構わない．