###### tags: `物理学`
###### tags: `古典力学`
# 力学 - 第2回 -

## 仕事と運動エネルギー
### 仕事：
質点が$\Delta r$だけ変位する際に力$\boldsymbol{F}$がする仕事$\Delta W$(スカラー量)は

$$\Delta W = \boldsymbol{F}\cdot\Delta \boldsymbol{r} = |\boldsymbol{F}||\Delta \boldsymbol{r}|\cos\theta \tag{1}$$

で表される．
　また，任意の曲線$C$に沿って図の$A$から$B$まで質点を移動させる場合，仕事$W$は，経路$C$を数多くの微小距離$\Delta r_i$に細分することによって

$$W = \displaystyle {\sum_{i=A}^B F_i\Delta r_i \cos\theta_i}\tag{2}$$

と表される．さらに，ここで$\Delta r_i \to 0$における極限を考えれば

\begin{eqnarray}
W&=&\lim_{\Delta r_i \to 0}\sum_{i=A}^B F_i\Delta r_i \cos\theta_i\\
&=&\int_{A,C}^B F\cos\theta dr \\
&=&\int_{A,C}^B \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}\tag{3}
\end{eqnarray}
と表される(経路Cに沿うAからBまでの線積分)．

---
#### 運動エネルギー：

質量$m$の質点に外から力$\boldsymbol{F}$を作用させてある道すじに沿って仕事をすると，その仕事に対して質点はどのような反応を示すか知りたい．これには，外力と質点の反応(運動)に関する法則，つまり運動方程式
\begin{equation}
m \frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}=\boldsymbol{F} \tag{4}
\end{equation}
を考慮する必要がある． ここで，質点が微小時間$dt$の間に$\boldsymbol{r}$から$\boldsymbol{r}+d\boldsymbol{r}$までの$d\boldsymbol{r}$だけ変位したとして，運動方程式の両辺と$d\boldsymbol{r}$との内積を作ると

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} &=& m \frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}\cdot d\boldsymbol{r} \\
&=& m\frac{d^2\boldsymbol{r}}{dt^2}\cdot \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}dt \\
&=& m \frac{d\boldsymbol{v}}{dt}\cdot \boldsymbol{v}dt \\
&=&\left[\frac{1}{2}m \frac{d\boldsymbol{v}^2}{dt}\right]dt \\
&=& \left[\frac{1}{2}m \frac{d}{dt} \left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\frac{d\boldsymbol{r}} {dt}\right) \right]dt \\
&=&\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}m \left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right)^2 \right]dt \tag{5}
\end{eqnarray}

となる．ここで，$T(t)=\frac{m\boldsymbol{v}^2(t)}{2}$とおき，この両辺をある道すじ$C$に沿って時刻$t_A$から時刻$t_B$まで積分する．すると
\begin{equation}
\int_{t_A,C}^{t_B}\frac{dT(t)}{dt}dt = \int_{t_A,C}^{t_B}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} \tag{6}
\end{equation}

となる．左辺を時刻$t_A$から時刻$t_B$までの時間を細かく分割したものの和とみなすと，この項は

\begin{eqnarray}
\sum_{t_1=t_A}^{t_n=t_B} \frac{T(t_{i+1})-T(t_i)}{\Delta t_i}\Delta t_i &=& \left[T(t_n)-T(t_{n-1})\right]+\left[T(t_{n-1})-T(t_{n-2})\right] \\
&+& \dots +\left[T(t_{2})-T(t_{1})\right] \\
&=&T(t_B)-T(t_A) \tag{7}
\end{eqnarray}

となり，この積分の値は時刻$t_A$における質点の位置$\boldsymbol{r_A}=\boldsymbol{r}(t_A)$と時刻$t_B$の位置$\boldsymbol{r_B}=\boldsymbol{r}(t_B)$を結ぶ曲線$C$の形によらず，その両端における$T(t)$の値だけで決まる．一方，式(6)の右辺は式(3)と全く同じものである．つまり，それは時刻$t_A$から$t_B$までの間に外力$\boldsymbol{F}$がした仕事にほかならない．したがって，式(6)は

\begin{eqnarray}
T(t_A)-T(t_B) &=& W \\
\frac{1}{2}m\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right)^2_{t=t_{B}} - \frac{1}{2}m\left(\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\right)^2_{t=t_{A}} &=& \int_{t_A,C}^{t_B} F \cdot d\boldsymbol{r} \tag{8}
\end{eqnarray}

となる．
　これは，質点に外から仕事がなされると，質点は$T=\frac{mv^2}{2}$という物理量の増大を持って応える，または，$T(t_B)$が$T(t_A)$に減少することによって外に$W$という量の仕事をすることができると解釈できる．すなわち，質点が外へ仕事をする能力は$T=\frac{mv^2}{2}$という量によって評価される．その量$T=\frac{mv^2}{2}$は，**運動エネルギー**と呼ばれる．

---
#### 仕事とエネルギーの違い

運動している質点が外に仕事をする能力のことを運動エネルギーと呼んだ．注意すべきは，運動エネルギー$T(t)$という量はその物体そのものが保持している量であって，その時刻$t$での速さ$\boldsymbol{v}(t)$が，つまりその運動状態が決まっていればそれだけで決まってしまう量である．これに対して，仕事$W$という量は，外部からなしたりなされたりする行為を表す量であって，その物体の持っている量ではない．つまり，エネルギーは**もっているもの**であり，仕事は**するもの**である．

---
## 参考文献
[藤原邦男．物理学序論としての力学．東京大学出版会，1984](https://www.amazon.co.jp/dp/4130620711/ref=cm_sw_em_r_mt_dp_t67aGb6S2HYB6)
[砂川重信．力学の考え方 (物理の考え方 1)．岩波書店，1993](https://www.amazon.co.jp/dp/4000078917/ref=cm_sw_em_r_mt_dp_K87aGbX2Y9X76)