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title: Préparation du système de génération de modèles multi-échelle de matrices de micro-mirroirs

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# Préparation du système de génération de modèles multi-échelle de matrices de micro-mirroirs
## Introduction
### Equation dérivée partielle
#### Définition
Une **E**quation aux **D**érivées **P**artielles (**EDP**) est une équation dont l'inconnue est une fonction à plusieurs paramètres.
Dans une équation aux dérivées ordinaires (**EDO**) la ou les fonctions inconnues dépendent d'une unique variable.
Dans le cas d'une **EDP** cependant, les inconnues dépendent de plusieurs variables indépendantes.
Les **EDP** sont omniprésentes dans plusieurs domaine dont la physique, où elles permettent de représenter les phénomènes étudiés.
#### Conditions et limites
Dans le cas des **EDO**, étant donné le grand nombre de solutions possibles, l'ajout de conditions initiales ou de limites permet de réduire cela en une unique solution si possible. Cela implique un choix judicieux des limites et initiales pour s'assurer que la solution soit unique.
#### Exemples

##### Température sur un segment
Soit un segment aux coordonnées comprises entre $\{0\}$ et $\{1\}$. On souhaite représenter la variation de la température au cours du temps sur la surface du segment par une équation aux dérivées partielles : la formule résultante dépendra de la coordonnée $x$ dans l'espace ainsi que du temps $t$. On peut représenter cela par une équation : ${\partial u\over\partial t^{2}} - {\partial^{2}u\over\partial x^{2}} = 0$
Cependant, dans son état actuel, cette équation retournera un ensemble infini de solution. Il convient donc d'utiliser des conditions aux limites pour réduire ces solutions et trouver une fonction unique. L'équation étant parabolique, il faut ajouter des conditions aux limites sur tout les bords.
On établit donc : $u(t,1) = 0$ et $u(t,0) =100$,  qui définit les valeurs de $u$ pour tout $t$ si $x$.
**conditions initiales**
##### Equation de Laplace
Soit un carré aux coordonnées comprises entre $\{0,0\}$ et $\{1,1\}$.
On souhaite représenter la distribution de température sur ce carré, on peut utiliser une équation de Laplace comme suit : $-{\partial u\over \partial x^{2}} - {\partial u\over\partial y^{2}} = 1$. 
On note $\Omega$ le domaine et sa frontière est notée $\partial \Omega$. Avec cette notation, on écrit plutôt:
$-\Delta u(x,y) = 1$ pour tout $(x,y)\in\Omega$ et $u(x,y)=0$ pour tout $(x,y)\in \partial \Omega$.
## Géométrie des matrices de micro-mirroirs

### Structure de la matrice
On s'interessera à une matrice de micro-mirroir ou **MMA**.
Tou d'abord intéressons nous à la géométrie de la structure. On peut étabir le domaine $\Omega$ que représente la matrice, décomposée en $\Omega^{mec}$ et $\Omega^{vac}$ respectivement les parties mécaniques et le vide qui l'entoure. Sa largeur, longueur et hauteur sont notés $L_{1}, L_{2},L_{3}$. Cette matrice comporte $n_{1}*n_{2}$ cellules de dimensions $l_{1},l_{2},l_{3}$ que l'on notera $\Omega_{c}$ avec $\cup_{c}\Omega_{c}$ où $c = (c_{1},c_{2})$ , $c_1 \in \{1,...n_1\}$ et $c_2 \in \{1,....n_2\}$  .
### Structure d'une cellule
![Structure](https://i.imgur.com/9cGBfRA.png)
Une cellule de micro-mirroir est composée de plusieurs parties nécessaire à son fonctionnement, cependant dans le cadre de notre travail, on ne s'intéressera qu'a une vision simplifiée qui sera pertinante d'un point de vue mécanique.
![Structure_Simple](https://i.imgur.com/qHIA5f4.png)
La structure est composée de deux parties mécaniques :  $\Omega^{mec}_{mir,c}$ et $\Omega^{mec}_{ele,c}$ , respectivement le miroir et l'électrode tels que $\Omega^{mec}_{mir,c} \cup\Omega^{mec}_{ele,c} = \Omega^{mec}_{c}$. Ces deux composantes sont entourées par un vide (_vacuum_) noté $\Omega^{vac}_{c}$. La décomposition de la matrice par ses cellules avec $\Omega = \cup_{c}\Omega_{c}$ peut être étendue comme suit : $\Omega^{vac} = \cup_{c}\Omega^{vac}_{c}$ , $\Omega^{mec}=\cup_{c}\Omega^{mec}_{c}$.
On pourra également établir dans le détail $\Omega^{mec}_{mir,c} = \cup_c\Omega^{mec}_{mir,c}$ et $\Omega^{mec}_{ele,c} = \cup_c\Omega^{mec}_{ele,c}$
![Matrix](https://i.imgur.com/Z920YZI.png)
## Transformation
### Modèles asymptotiques
Les modèles asymptotiques sont des approches mathématiques permettant de simplifier la résolution de problèmes complexes en décomposant le domaine d'intérêt en plusieurs zones, chacune étant traitée de manière différente en fonction de ses propriétés physiques. Cela est très utile pour simplifier la modélisation et l'analyse de phénomènes complexes.
Différents modèles asymptotiques sont utilisés pour représenter certaines parties de la géométrie impliquée (voir figure).
![Figure](https://i.imgur.com/1KxZoiG.png)
#### Modèle Périodique
Ce modèle permet de représenter des phénomènes qui présentent une périodicité. En supposant que les grandeurs physiques impliquées varient de manière périodique, le modèle permet de réduire considérablement le nombre d'équations à résoudre car on peut supposer que la solution pour chaque période est identique.
##### Operateur de transformation à deux échelles

#### Modèle de couche limite
Le modèle de couche limite est utilisé pour modéliser les mouvements de fluides contre une surface solide. La zone de contact entre le fluide et la surface qui entre en friction est appelée couche limite.

#### Modèle de couche limite à une arête
Le modèle de couche limite à une arête est une variante du modèle de couche limite. On suppose alors que le solide qui entre en contact est une arête ou un coin. Cela permet de simplifier davantage les 
équations.

#### Modèle de couche limite d'interface
Le modèle de couche limite est utilisé pour représenter des interactions entre deux fluides de viscosité différentes. L'équation résultante possède donc deux solutions qui sont liées par une condition d'interface.

#### Modèle de couche limite à une arête d'une interface
Similaire au modèle de couche limite d'interface, celle-ci concerne les interactions entre fluides au niveau d'une arête solide.

#### Exemple 

Supposons le domaine $\Omega$ introduit précedemment qui représente une matrice de $n_1 * n_2$ cellules tel que $\Omega = \cup_c\Omega_c$ avec $c =(c_1,c_2) , c_1\in \{0..n_1\},c_2 \in \{0...n_2\}$.
On considèrera $\Omega$ composé de $\Omega_1$ et $\Omega_2$, respectivement les sous domaines de $\Omega$ de voltages imposés $V_1$ et $V_2$.
On définit également $T^\epsilon$ qui est **l'opérateur de transformation à deux échelles** qui nous permettra de passer les calculs depuis le domaine physique vers le domaine à 2 échelles $\Omega ^\sharp \times* \Omega ^1$ où $\Omega ^1$ est la cellule unité.
Le champ électrique $\phi$ est la grandeur physique que l'on souhaite modéliser. Cependant on rencontre certaines difficultés : la solution $\phi^{0}$ varie en fonction de la zone qui est analysée. 
On utilisera tout d'abord un modèle périodique pour les zone "neutres".
Ces zones ne sont pas au voisinage des bords, des angles ou des interfaces (frontière entre $\Omega_1$ et $\Omega_2$)
\begin{equation*}
\begin{cases}
-\Delta _{x^{1}}\phi ^{0}=0 & \text{ sur }\Omega ^{1} \\ 
\phi ^{0}=V^{0} & \text{ sur l'électrode} \\ 
\nabla _{x^{1}}\phi ^{0}\cdot \mathbf{n}^{1}=0 & \text{ sur le bord supérieur} \\ 
\nabla _{x^{1}}\phi ^{0}\cdot \mathbf{n}^{1}\text{ est antipériodique} & \text{
sur le bord périodique du vide} \\ 
\phi ^{0}\text{ est périodique} & \text{ sur le bord périodique du vide.}%
\end{cases}%
\end{equation*}

On peut supposer le résultat approximatif comme étant $\phi \approx B\phi^0$, $B^{\epsilon}$ étant une approximation régulière de $T^{\epsilon*}$.
Cependant notre solution est valide uniquement sur les surfaces éloignées des angles, bords et interfaces. Cela est dû au fait que $\phi^0$ est périodique, ce que l'on veut éviter pour les bords. Pour _corriger_ ce problème, on introduit des correcteurs qui vont s'ajouter à notre solution.

![](https://i.imgur.com/PosXWvx.png)
On ajoute donc un correcteur à chaque bord $\Omega^{\epsilon}_{bl}$. Pour cela on construit la différence $\phi^{\epsilon}_{bl} = \phi^{\epsilon}-B^{\epsilon}\phi^0$ ainsi que $V_{bl}^{\varepsilon }=V^{\varepsilon }-B^{\varepsilon }V^{0}$. 
La solution prend alors la forme $\phi ^{\varepsilon }\approx B^{\varepsilon }\phi
^{0}+B_{bl}^{\varepsilon }\phi _{bl}$, où $B_{bl}^{\varepsilon }$ est une approximation régulière de $T_{bl}^{\varepsilon }$, qui est un opérateur de transformation qui capture l'effet de correction près de $x_2 =0$

### Stratégies

#### Modèle Périodique
_TODO_
#### Modèle de couche limite
_TODO_
#### Modèle de couche limite à une arête
_TODO_
#### Modèle de couche limite d'interface
_TODO_
#### Modèle de couche limite à une arête d'une interface
_TODO_

## Implémentation
### Ocaml
Le language utilisé est Ocaml, un langage fonctionnel que l'on utilisera pour effectuer la représentation des des stratégies, des expressions et leurs réecritures . 
### Citadle
### Structures


## Glossaire

**EDP** Equation aux dérivées partielles
**EDO** Equation aux dérivées ordinaires
**MMA** Micro-Mirror Array


