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title: '**微積分報告第七組1，2題**'

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# **微積分報告第七組1，2題**
By 張鈞博

**2022/12/17 FREEZE!!!**

# 1.
![](https://i.imgur.com/tY61g3f.png)

<font color="#f00">$Ans:\ (A)(B)$</font>

$A.\ g(x)\ is\ differentiable\ on\ (0,\infty)$ <font color="#0000FF">**True**</font>

**Proof:**
證明區間$(0,\infty)$內可微分:
把g(x)分成$\cfrac{1}{x}$和$\int_{0}^{x} f(t) \,dt$，$\cfrac{1}{x}$是多項式函數所以可微，而$\int_{0}^{x} f(t) \,dt$，因為f(t)在$(0,\infty)$連續，所以$\int_{0}^{x} f(t) \,dt$也在$(0,\infty)$連續，根據微積分基本定理，$\int_{0}^{x} f(t) \,dt$也在區間內可微分。
$=>$兩個相乘起來(g(x))也可微分。

$B.\ \lim_{x \to 0^+}g(x)=1$ <font color="#0000FF">**True**</font>

**Proof:**
$\lim_{x \to 0^+}g(x)=\lim_{x \to 0^+}\cfrac{\int_{0}^{x} f(t) \,dt}{x}=$<font color="#FF00FF">**(L'H)**</font>$\lim_{x \to 0^+}\cfrac{f(x)}{1}=\lim_{x \to 0^+}\cfrac{sinx}{x}=1$

$C.\ g'(x)=\cfrac{f(x)}{x}-g(x)$ <font color="#F00">**False**</font>

**WHY:**
咱們先算一下g'(x)是甚麼咚咚?
$g'(x)=\cfrac{1}{x}\cfrac{sinx}{x}-\cfrac{1}{x^2}\int_{0}^{x} f(t) \,dt=\cfrac{f(x)}{x}-\cfrac{g(x)}{x}\neq\cfrac{f(x)}{x}-g(x)$
很明顯少了一個x呦!

$D.\ \lim_{x \to 0^+}g'(x)=1$ <font color="#F00">**False**</font>

**WHY:**
延續C:
$g'(x)=\cfrac{sinx}{x^2}-\cfrac{1}{x^2}\int_{0}^{x} f(t) \,dt=\cfrac{sinx-\int_{0}^{x} f(t)\,dt}{x^2}$
$\lim_{x \to 0^+}g'(x)=\lim_{x \to 0^+}\cfrac{sinx-\int_{0}^{x} f(t)\,dt}{x^2}=$<font color="#FF00FF">**(L'H)**</font>$\lim_{x \to 0^+}\cfrac{cosx-\cfrac{sinx}{x}}{2x}=\cfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+}\cfrac{xcosx-sinx}{x^2}=$<font color="#FF00FF">**(L'H)**</font>$\cfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+}\cfrac{-xsinx}{2x}=\cfrac{1}{2}\lim_{x \to 0^+}\cfrac{-sinx}{2}=0\neq1$
是零不是一!!!

# 2.
![](https://i.imgur.com/LeJIjXo.png)

<font color="#f00">$Ans:\ (A)(B)(D)$</font>

$A.\ \lim_{x \to c}f(x)\ does\ not\ exist\ if\ c\neq0$ <font color="#0000FF">**True**</font>

**Proof:**
因為除了0，任何實數x的左右兩側都不斷在$x^2$和$-x^2$震盪，因此極限不存在。

$B.\ \lim_{x \to 0}f(x)=0$ <font color="#0000FF">**True**</font>

**Proof:**
$-x^2\le f(x)\le x^2\quad  \forall x\in R$ 
根據夾擠定理，$\lim_{x \to 0}(-x^2)=\lim_{x \to 0}x^2=0$，因此，$\lim_{x \to 0}f(x)=0$

$C.\ g'(x)\ does\ not\ exist\ at\ x=0$ <font color="#F00">**False**</font>

**WHY:**
先來看看g(x):
$g(x)=\begin{cases}x^3\ if\ x\in Q\\-x^3\ if\ x\in Q^c\end{cases}$
$g'(0)=\lim_{x \to 0}\cfrac{g(0+x)-g(0)}{x}=\lim_{x \to 0}\cfrac{g(x)}{x}$
再來看看$\cfrac{g(x)}{x}$:
$\cfrac{g(x)}{x}=\begin{cases}x^2\ if\ x\in Q\\-x^2\ if\ x\in Q^c\end{cases}$
$-x^2\le \cfrac{g(x)}{x}\le x^2\quad  \forall x\in R$
根據夾擠定理，$\lim_{x \to 0}(-x^2)=\lim_{x \to 0}x^2=0$，因此，$\lim_{x \to 0}\cfrac{g(x)}{x}=g'(0)=0$


$D.\ g(x)\ is\ differentiable\ at\ just\ one\ point.$ <font color="#0000FF">**True**</font>

**Proof:**
可微分的前提「必連續」。
$g(x)=\begin{cases}x^3\ if\ x\in Q\\-x^3\ if\ x\in Q^c\end{cases}$
* Case1: $x\neq 0$，除了0，任何實數x的左右兩側都不斷在$x^3$和$-x^3$震盪，因此$\lim_{x \to a}g(x)\neq g(a)$，不連續也無法微分。
* Case2: $x= 0$，根據剛剛C的證明，g(x)在x=0處可微分。

綜合上述，g(x)在其定義域中只有一點(x=0)可微分。

